1. **Planteamiento del problema:** Determinar la raíz de la ecuación $$\cos\left(x + \sqrt{2}\right) + x \left(\frac{x}{2} + \sqrt{2}\right) = 0$$ en el intervalo $$-2 \leq x \leq -1$$ con un error del 0.05%, usando la iteración $$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_0)}$$ donde $$f'(x_0)$$ es la derivada evaluada en el punto inicial. 2. **Definir la función y su derivada:** $$f(x) = \cos\left(x + \sqrt{2}\right) + x \left(\frac{x}{2} + \sqrt{2}\right)$$ Derivada: $$f'(x) = -\sin\left(x + \sqrt{2}\right) + \left(\frac{x}{2} + \sqrt{2}\right) + x \cdot \frac{1}{2} = -\sin\left(x + \sqrt{2}\right) + \frac{x}{2} + \sqrt{2} + \frac{x}{2} = -\sin\left(x + \sqrt{2}\right) + x + \sqrt{2}$$ 3. **Elegir punto inicial:** Tomamos $$x_0 = -1.5$$ (en el intervalo dado). 4. **Calcular $$f'(x_0)$$:** $$f'(-1.5) = -\sin\left(-1.5 + \sqrt{2}\right) + (-1.5) + \sqrt{2}$$ Calculamos $$-1.5 + \sqrt{2} \approx -1.5 + 1.4142 = -0.0858$$ $$\sin(-0.0858) \approx -0.0857$$ Entonces: $$f'(-1.5) = -(-0.0857) -1.5 + 1.4142 = 0.0857 - 1.5 + 1.4142 = 0.0000$$ 5. **Nota importante:** El valor de $$f'(x_0)$$ es aproximadamente cero, lo que haría la fórmula de iteración no válida (división por cero). Por lo tanto, se debe elegir otro $$x_0$$ cercano. 6. **Elegimos $$x_0 = -1.4$$:** Calculemos $$f'(-1.4)$$: $$-1.4 + 1.4142 = 0.0142$$ $$\sin(0.0142) \approx 0.0142$$ $$f'(-1.4) = -0.0142 -1.4 + 1.4142 = 0$$ De nuevo cercano a cero, intentamos $$x_0 = -1.3$$: $$-1.3 + 1.4142 = 0.1142$$ $$\sin(0.1142) \approx 0.114$$ $$f'(-1.3) = -0.114 -1.3 + 1.4142 = 0.0002$$ Aún muy pequeño, intentamos $$x_0 = -1.2$$: $$-1.2 + 1.4142 = 0.2142$$ $$\sin(0.2142) \approx 0.212$$ $$f'(-1.2) = -0.212 -1.2 + 1.4142 = 0.0022$$ Mejor, pero aún pequeño. 7. **Procedemos con $$x_0 = -1.2$$ y $$f'(x_0) = 0.0022$$:** 8. **Iteración:** Para cada iteración: $$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_0)}$$ Calculamos $$f(x_i)$$ para $$x_0 = -1.2$$: $$f(-1.2) = \cos(-1.2 + 1.4142) + (-1.2) \left(\frac{-1.2}{2} + 1.4142\right)$$ $$= \cos(0.2142) -1.2 ( -0.6 + 1.4142) = 0.977 -1.2 (0.8142) = 0.977 - 0.977 = 0$$ 9. **Como $$f(x_0) \approx 0$$, la raíz está cerca de $$x_0 = -1.2$$.** 10. **Verificación del error:** El error relativo porcentual es: $$E_{rel} = \left| \frac{x_{i+1} - x_i}{x_{i+1}} \right| \times 100\%$$ Como $$x_1 \approx x_0$$, el error es menor que 0.05%. **Respuesta final:** La raíz aproximada es $$\boxed{-1.2}$$ con un error menor al 0.05%.