1. Planteamos el problema: calcular el módulo de los vectores $3\vec{u}$, $\frac{1}{2}\vec{v}$, $\vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{u} - \vec{v}$ con $\vec{u} = (3, -1, 2)$ y $\vec{v} = (0, 3, -1)$.\n\n2. Recordamos que el módulo de un vector $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ es $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.\n\n3. Calculamos cada vector:\n- $3\vec{u} = 3(3, -1, 2) = (9, -3, 6)$\n- $\frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2}(0, 3, -1) = (0, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$\n- $\vec{u} + \vec{v} = (3+0, -1+3, 2-1) = (3, 2, 1)$\n- $\vec{u} - \vec{v} = (3-0, -1-3, 2+1) = (3, -4, 3)$\n\n4. Calculamos los módulos:\n- $|3\vec{u}| = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126}$\n- $|\frac{1}{2}\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{0 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{2.5}$\n- $|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$\n- $|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34}$\n\n---\n\n1. Planteamos el problema: calcular el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ con $\vec{u} = (2, -1, -1)$ y $\vec{v} = (3, 0, 3)$ y comprobar que es perpendicular a ambos vectores.\n\n2. Recordamos que el producto vectorial se calcula como:\n$$\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x \right)$$\n\n3. Calculamos cada componente:\n- $x = (-1)(3) - (-1)(0) = -3 - 0 = -3$\n- $y = (-1)(3) - 2(3) = -3 - 6 = -9$\n- $z = 2(0) - (-1)(3) = 0 + 3 = 3$\n\nEntonces $\vec{u} \times \vec{v} = (-3, -9, 3)$.\n\n4. Comprobamos perpendicularidad calculando los productos escalares:\n- $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 2(-3) + (-1)(-9) + (-1)(3) = -6 + 9 - 3 = 0$\n- $\vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 3(-3) + 0(-9) + 3(3) = -9 + 0 + 9 = 0$\n\nAmbos productos escalares son cero, por lo que $\vec{u} \times \vec{v}$ es perpendicular a $\vec{u}$ y $\vec{v}$.