1. **Planteamiento del problema:** Dado los vectores en $\mathbb{R}^3$: $$ u = (-2, 3, 1), \quad v = (5, -1, 3), \quad w = (1, 0, -2) $$ Se pide: - a) Calcular la proyección de $v+w$ sobre $w-u$, es decir, $\operatorname{proy}_{(w-u)}^{(v+w)}$. - b) Calcular el producto cruz $u \times w$. - c) Determinar si los vectores obtenidos en a) y b) son ortogonales. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - La proyección de un vector $\mathbf{a}$ sobre otro vector $\mathbf{b}$ se calcula como: $$ \operatorname{proy}_{\mathbf{b}}^{\mathbf{a}} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \right) \mathbf{b} $$ - El producto cruz de dos vectores $\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3)$ y $\mathbf{b} = (b_1,b_2,b_3)$ es: $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1) $$ - Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero: $$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0 $$ 3. **Cálculos intermedios:** - Calcular $w-u$: $$ w-u = (1 - (-2), 0 - 3, -2 - 1) = (3, -3, -3) $$ - Calcular $v+w$: $$ v+w = (5 + 1, -1 + 0, 3 + (-2)) = (6, -1, 1) $$ - Producto punto $ (v+w) \cdot (w-u)$: $$ (6)(3) + (-1)(-3) + (1)(-3) = 18 + 3 - 3 = 18 $$ - Norma al cuadrado de $w-u$: $$ \|w-u\|^2 = 3^2 + (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 + 9 = 27 $$ - Proyección: $$ \operatorname{proy}_{(w-u)}^{(v+w)} = \left( \frac{18}{27} \right) (3, -3, -3) = \left( \frac{2}{3} \right) (3, -3, -3) = (2, -2, -2) $$ - Producto cruz $u \times w$: $$ u \times w = \big(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 0,\; 1 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2),\; (-2) \cdot 0 - 3 \cdot 1\big) = (-6 - 0, 1 - 4, 0 - 3) = (-6, -3, -3) $$ 4. **Verificar ortogonalidad:** - Producto punto entre $\operatorname{proy}_{(w-u)}^{(v+w)} = (2, -2, -2)$ y $u \times w = (-6, -3, -3)$: $$ (2)(-6) + (-2)(-3) + (-2)(-3) = -12 + 6 + 6 = 0 $$ Como el producto punto es cero, los vectores son ortogonales. **Respuesta final:** - a) $\operatorname{proy}_{(w-u)}^{(v+w)} = (2, -2, -2)$ - b) $u \times w = (-6, -3, -3)$ - c) Los vectores son ortogonales porque su producto punto es cero.