1. **Planteamiento del problema:** Dado los vectores $\vec{A} = (2, 3, -1)$, $\vec{B} = (1, -2, 3)$ y $\vec{C} = (-2, 1, 2)$, se pide: a) Graficar los vectores. b) Determinar el ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$. c) Determinar la proyección de $\vec{C}$ sobre $\vec{B}$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - El ángulo $\theta$ entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se calcula con la fórmula: $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$$ - La proyección de $\vec{c}$ sobre $\vec{b}$ es: $$\mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{c} = \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2} \right) \vec{b}$$ 3. **Cálculo del ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$:** - Producto punto: $$\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 \times 1 + 3 \times (-2) + (-1) \times 3 = 2 - 6 - 3 = -7$$ - Normas: $$\|\vec{A}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$ $$\|\vec{B}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ - Sustituyendo en la fórmula: $$\cos \theta = \frac{-7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$$ - Ángulo: $$\theta = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$$ 4. **Cálculo de la proyección de $\vec{C}$ sobre $\vec{B}$:** - Producto punto: $$\vec{C} \cdot \vec{B} = (-2) \times 1 + 1 \times (-2) + 2 \times 3 = -2 - 2 + 6 = 2$$ - Norma al cuadrado de $\vec{B}$: $$\|\vec{B}\|^2 = 14$$ - Coeficiente de proyección: $$\frac{\vec{C} \cdot \vec{B}}{\|\vec{B}\|^2} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$$ - Proyección: $$\mathrm{proj}_{\vec{B}} \vec{C} = \frac{1}{7} (1, -2, 3) = \left( \frac{1}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{3}{7} \right)$$ **Respuesta final:** - Ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$: $120^\circ$ - Proyección de $\vec{C}$ sobre $\vec{B}$: $\left( \frac{1}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{3}{7} \right)$