1. Énonçons le problème : Nous voulons démontrer la contrainte budgétaire intertemporelle de l'État, qui exprime que la valeur actualisée des dépenses publiques doit être égale à la valeur actualisée des recettes publiques sur une période donnée. 2. Formule de base : La contrainte budgétaire intertemporelle s'écrit généralement comme $$\sum_{t=0}^{\infty} \frac{G_t}{(1+r)^t} = \sum_{t=0}^{\infty} \frac{T_t}{(1+r)^t} + B_0$$ où : - $G_t$ sont les dépenses publiques à la période $t$, - $T_t$ sont les recettes publiques à la période $t$, - $r$ est le taux d'intérêt réel, - $B_0$ est la dette initiale de l'État. 3. Explication : Cette équation signifie que la somme actualisée des dépenses doit être financée par la somme actualisée des recettes plus la dette initiale. 4. Démonstration : - À chaque période $t$, l'État peut emprunter ou rembourser une dette $B_t$. - La dynamique de la dette est donnée par $$B_{t+1} = (1+r)B_t + G_t - T_t$$ - En itérant cette relation à partir de $t=0$, on obtient $$B_{t+1} = (1+r)^{t+1}B_0 + \sum_{j=0}^t (1+r)^{t-j}(G_j - T_j)$$ 5. Condition d'équilibre : Pour que la dette ne devienne pas infinie, on impose la condition d'absence d'explosion de la dette $$\lim_{t \to \infty} \frac{B_{t+1}}{(1+r)^{t+1}} = 0$$ 6. En divisant l'expression de $B_{t+1}$ par $(1+r)^{t+1}$ et en prenant la limite, on obtient $$0 = B_0 + \sum_{j=0}^\infty \frac{G_j - T_j}{(1+r)^{j}}$$ 7. En réarrangeant, on a la contrainte budgétaire intertemporelle : $$\sum_{t=0}^\infty \frac{G_t}{(1+r)^t} = \sum_{t=0}^\infty \frac{T_t}{(1+r)^t} + B_0$$ 8. Conclusion : Cette contrainte montre que l'État ne peut pas financer indéfiniment un déficit sans augmenter sa dette initiale ou ses recettes futures.