1. **Énoncé du problème :** Nous avons un montage électronique avec une source de tension d'entrée $E=300$, fréquence $F=50\,000$ Hz, rapport cyclique $\alpha=0.5$, inductance primaire $L_1=1.5\,\text{mH}$, nombre de spires primaire $N_1=100$, secondaire $N_2=5$. Le condensateur $C$ maintient la tension $V_S$ constante. La charge est une résistance $R$. On est à la limite de démagnétisation complète. 2. **Nom du montage :** Ce montage est un **convertisseur abaisseur à découpage avec transformateur** (ou un hacheur abaisseur avec transformateur). 3. **Formules importantes :** - Rapport de transformation : $$n=\frac{N_1}{N_2}=\frac{100}{5}=20$$ - Tension secondaire moyenne $V_S$ liée à la tension d'entrée et au rapport cyclique : $$V_S = \alpha \times E \times \frac{N_2}{N_1}$$ - Inductance primaire : $L_1=1.5\,\text{mH}$ - Fréquence : $F=50\,000$ Hz, donc période $$T=\frac{1}{F}=\frac{1}{50\,000}=20\,\mu s$$ 4. **Calcul de $V_S$ pour que la valeur moyenne de $v_o$ soit nulle :** La condition de démagnétisation complète implique que la tension moyenne de sortie $v_o$ est nulle. On a la relation : $$V_S = \alpha \times E \times \frac{N_2}{N_1} = 0.5 \times 300 \times \frac{5}{100} = 0.5 \times 300 \times 0.05 = 7.5$$ Donc, $V_S = 7.5$ volts. 5. **Allure des chronogrammes :** - $v_c(t)$ est la tension aux bornes du condensateur, qui est constante à $V_S$. - Les courants $i(t)$ et $i_1(t)$ sont des signaux en dents de scie liés à la charge inductive et au fonctionnement du hacheur. 6. **Calcul des courants au moment de la commutation :** - Courant primaire $i_1$ au début de la conduction : $i_1(0) = 0$ (car démarrage) - Courant secondaire $i$ dépend de la charge et de la tension $V_S$. 7. **Valeurs moyennes des courants :** - Courant moyen primaire : $$I_{1moy} = \alpha \times I_{max}$$ - Courant moyen secondaire : $$I_{2moy} = I_{1moy} \times \frac{N_1}{N_2}$$ 8. **Calcul de la résistance $R$ et puissance utile $P_u$ :** - Puissance utile : $$P_u = V_S \times I_{2moy}$$ - Résistance : $$R = \frac{V_S}{I_{2moy}}$$ 9. **Valeur de $C$ pour $\Delta V_C = 0.5$ :** - Variation de tension sur le condensateur : $$\Delta V_C = \frac{I \times T}{C}$$ - Donc : $$C = \frac{I \times T}{\Delta V_C}$$ 10. **Chronogramme de la tension $v(t)$ et tension maximale aux bornes du transistor :** - $v(t)$ varie entre $0$ et $E=300$ V. - Tension maximale au transistor est proche de $E$. 11. **Valeur de $\rho$ pour maintenir la même tension de sortie avec $E=200$ V :** - Pour garder $V_S$ constant, on ajuste le rapport cyclique : $$V_S = \rho \times E \times \frac{N_2}{N_1} \Rightarrow \rho = \frac{V_S \times N_1}{E \times N_2} = \frac{7.5 \times 100}{200 \times 5} = 0.75$$ 12. **Chronogrammes des courants $i(t)$ et $i_1(t)$ dans ce cas :** - Les courants auront des amplitudes plus faibles car la tension d'entrée est plus basse, mais la forme reste similaire. **Réponse finale principale :** $$V_S = 7.5$$ volts pour que la valeur moyenne de $v_o$ soit nulle.