1. Énoncé du problème : Résoudre l'équation aux dérivées partielles $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - 3 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 3x - 2y = 0$$ 2. Objectif : Réduire cette équation à sa forme canonique, c'est-à-dire trouver un changement de variables qui simplifie la partie différentielle de l'équation. 3. Forme générale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre : $$A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} + \text{termes de moindre ordre} = 0$$ Ici, $A=1$, $B=1$ (car $2B=2$ donc $B=1$), $C=-3$. 4. Calcul du discriminant : $$\Delta = B^2 - AC = 1^2 - (1)(-3) = 1 + 3 = 4 > 0$$ Cela signifie que l'équation est hyperbolique. 5. Trouvons les directions caractéristiques en résolvant : $$A(dy)^2 - 2B dx dy + C(dx)^2 = 0$$ ou en termes de $\lambda = \frac{dy}{dx}$ : $$A \lambda^2 - 2B \lambda + C = 0$$ $$1 \cdot \lambda^2 - 2 \cdot 1 \cdot \lambda - 3 = 0$$ 6. Résolvons cette équation quadratique : $$\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$$ $$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ 7. Les deux valeurs de $\lambda$ sont : $$\lambda_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$\lambda_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ 8. Définissons les nouvelles variables caractéristiques : $$\xi = y - 3x$$ $$\eta = y + x$$ 9. En utilisant la transformation, on peut exprimer les dérivées secondes en fonction de $\xi$ et $\eta$ et réduire l'équation différentielle à la forme canonique : $$u_{\xi \eta} = F(\xi, \eta)$$ 10. En remplaçant les termes non homogènes $3x - 2y$ dans les nouvelles variables, on obtient une équation simplifiée dont la solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène. 11. La forme générale des solutions est donc : $$u(x,y) = \phi(y - 3x) + \psi(y + x) + u_p(x,y)$$ avec $\phi$ et $\psi$ fonctions arbitraires et $u_p$ une solution particulière de l'équation complète. 12. Conclusion : Nous avons réduit l'équation à sa forme canonique hyperbolique et exprimé la solution générale en fonction des variables caractéristiques.