1. **Problemstellung:** Wir sollen die Grenzzahlungsbereitschaften (GZB) der Individuen bei der effizienten Menge $z^*$ des öffentlichen Gutes bestimmen und diese Werte skizzieren. 2. **Ausgangspunkt:** Aus Teilaufgabe d) wissen wir, dass die effiziente Menge $z^*$ durch die Samuelson-Bedingung bestimmt wird: $$\sum_{h=1}^3 GZB_h = -T_z$$ 3. **Grenzzahlungsbereitschaften (GZB):** Die Nutzenfunktion lautet: $$U^h(x_h,z,h) = x_h + 18 \cdot \sqrt{z} + h \cdot z$$ Die Budgetrestriktion: $$x_h + p_h \cdot z = y_h$$ Die GZB ist die partielle Ableitung des Nutzens nach $z$, da $x_h$ linear und $z$ das öffentliche Gut ist: $$GZB_h = \frac{\partial U^h}{\partial z} = 18 \cdot \frac{1}{2\sqrt{z}} + h = \frac{9}{\sqrt{z}} + h$$ 4. **Effiziente Menge $z^*$:** Die Transformationsfunktion ist: $$T(z) = 200 - 15z \Rightarrow T_z = \frac{dT}{dz} = -15$$ Samuelson-Bedingung: $$\sum_{h=1}^3 GZB_h = -T_z = 15$$ Setze GZB ein: $$\sum_{h=1}^3 \left( \frac{9}{\sqrt{z}} + h \right) = 15$$ Das ergibt: $$3 \cdot \frac{9}{\sqrt{z}} + (1+2+3) = 15$$ $$\frac{27}{\sqrt{z}} + 6 = 15$$ $$\frac{27}{\sqrt{z}} = 9$$ $$\sqrt{z} = \frac{27}{9} = 3$$ $$z^* = 3^2 = 9$$ 5. **GZB der Individuen bei $z^* = 9$:** Berechne für jedes $h$: $$GZB_h = \frac{9}{\sqrt{9}} + h = \frac{9}{3} + h = 3 + h$$ Also: - $GZB_1 = 3 + 1 = 4$ - $GZB_2 = 3 + 2 = 5$ - $GZB_3 = 3 + 3 = 6$ 6. **Skizze:** Die GZB-Werte bei $z^* = 9$ sind 4, 5 und 6 für die Individuen 1, 2 und 3. Diese Werte können als Punkte auf einer vertikalen Achse (GZB) bei $z=9$ dargestellt werden, wobei die Summe 15 ergibt, was der Grenzkosten des öffentlichen Gutes entspricht. **Endergebnis:** $$z^* = 9$$ $$GZB_1 = 4, \quad GZB_2 = 5, \quad GZB_3 = 6$$