Bài toán: Giới thiệu tổng quát về vectơ. 1. Định nghĩa: Vectơ là một đại lượng có độ lớn và hướng. Ví dụ, trong $\mathbb{R}^n$, một vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng $\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$. 2. Quy tắc và công thức cơ bản: Cộng vectơ: $\vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \dots, u_n+v_n)$. Nhân vô hướng: $c\,\vec{v} = (c v_1, c v_2, \dots, c v_n)$. Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n$. 3. Độ dài và chuẩn hóa: Độ dài: $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$. Vectơ đơn vị: $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ khi $\vec{v} \neq \vec{0}$. 4. Góc giữa hai vectơ và trực giao: Công thức: $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$. Trực giao: nếu $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ thì $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$. 5. Không gian vectơ ngắn gọn: Tập các vectơ trong $\mathbb{R}^n$ với phép cộng và nhân vô hướng tạo thành một không gian vectơ. 6. Ví dụ cụ thể và tính toán từng bước: Cho $\vec{u} = (1,2,3)$ và $\vec{v} = (4,-1,2)$. Cộng: $\vec{u}+\vec{v} = (1+4,\,2+(-1),\,3+2) = (5,1,5)$. Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot4 + 2\cdot(-1) + 3\cdot2 = 4 - 2 + 6 = 8$. Độ dài: $\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$. Độ dài: $\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{21}$. Góc: $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{8}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}} = \dfrac{8}{\sqrt{294}} = \dfrac{8}{7\sqrt{6}}$. 7. Lời khuyên học tập ngắn gọn: Thực hành với ví dụ số để nắm rõ phép toán và hình học của vectơ.