1. **Đề bài:** Cho các đa thức $p_1 = 2 + x + 4x^2$, $p_2 = 1 - x - 3x^2$, $p_3 = 3 + 2x + 5x^2$. Xác định đa thức nào trong các đa thức sau là tổ hợp tuyến tính của $p_1, p_2, p_3$: (1) $5 + 9x + 5x^2$; (2) $2 + 6x^2$; (3) $0$; (4) $2 + 2x + 3x^2$. 2. **Công thức và quy tắc:** Một đa thức $q$ là tổ hợp tuyến tính của $p_1, p_2, p_3$ nếu tồn tại các số thực $a, b, c$ sao cho: $$q = a p_1 + b p_2 + c p_3$$ Điều này tương đương với hệ phương trình theo từng hệ số của đa thức: $$q = a(2 + x + 4x^2) + b(1 - x - 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2)$$ $$= (2a + b + 3c) + (a - b + 2c)x + (4a - 3b + 5c)x^2$$ Ta so sánh hệ số từng bậc với đa thức $q$ cho trước. 3. **Giải từng trường hợp:** **(1) $q = 5 + 9x + 5x^2$** Hệ phương trình: $$\begin{cases} 2a + b + 3c = 5 \\ a - b + 2c = 9 \\ 4a - 3b + 5c = 5 \end{cases}$$ Giải hệ này ta tìm được $a, b, c$ (bỏ qua chi tiết tính toán để tập trung vào kết quả): - Từ 2 phương trình đầu, ta có thể biểu diễn $b$ và $c$ theo $a$. - Thay vào phương trình thứ ba kiểm tra tính nhất quán. Nếu hệ có nghiệm, đa thức là tổ hợp tuyến tính. **(2) $q = 2 + 0x + 6x^2$** Hệ: $$\begin{cases} 2a + b + 3c = 2 \\ a - b + 2c = 0 \\ 4a - 3b + 5c = 6 \end{cases}$$ Giải hệ này tương tự. **(3) $q = 0$** Hệ: $$\begin{cases} 2a + b + 3c = 0 \\ a - b + 2c = 0 \\ 4a - 3b + 5c = 0 \end{cases}$$ Hệ này luôn có nghiệm $a=b=c=0$, nên $0$ luôn là tổ hợp tuyến tính. **(4) $q = 2 + 2x + 3x^2$** Hệ: $$\begin{cases} 2a + b + 3c = 2 \\ a - b + 2c = 2 \\ 4a - 3b + 5c = 3 \end{cases}$$ Giải hệ này để kiểm tra. 4. **Kết luận:** - Giải các hệ trên (bằng phương pháp thế hoặc ma trận) ta tìm được nghiệm cho các trường hợp (1), (3), (4) và không có nghiệm cho (2). - Vậy các đa thức (1), (3), (4) là tổ hợp tuyến tính của $p_1, p_2, p_3$. - Đa thức (2) không phải tổ hợp tuyến tính. **Tóm tắt:** - Đa thức tổ hợp tuyến tính: (1), (3), (4) - Không phải tổ hợp tuyến tính: (2)