1. **Δήλωση του προβλήματος:** Έχουμε γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς για ένα αγαθό. Στην τιμή $100$, η ζητούμενη ποσότητα είναι $25$ και η προσφερόμενη ποσότητα είναι $50$. Η ελαστικότητα ζήτησης στην τιμή ισορροπίας είναι $-3$ και η ελαστικότητα προσφοράς είναι $1$. Πρέπει να βρούμε τις συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς. 2. **Ορισμός συναρτήσεων:** Έστω η συνάρτηση ζήτησης $Q_d = a_d + b_d P$ και η συνάρτηση προσφοράς $Q_s = a_s + b_s P$. Επειδή είναι γραμμικές, $a_d, b_d, a_s, b_s$ είναι σταθερές που πρέπει να βρούμε. 3. **Χρήση δεδομένων στα σημεία:** Στην τιμή $P=100$, έχουμε: $$Q_d = 25 = a_d + b_d \times 100$$ $$Q_s = 50 = a_s + b_s \times 100$$ 4. **Ορισμός ελαστικότητας:** Η ελαστικότητα ζήτησης ορίζεται ως: $$E_d = \frac{dQ_d}{dP} \times \frac{P}{Q_d} = b_d \times \frac{P}{Q_d}$$ Η ελαστικότητα προσφοράς: $$E_s = \frac{dQ_s}{dP} \times \frac{P}{Q_s} = b_s \times \frac{P}{Q_s}$$ 5. **Εφαρμογή ελαστικοτήτων στην τιμή ισορροπίας:** Έστω η τιμή ισορροπίας $P^*$ και ποσότητα ισορροπίας $Q^*$. Στην ισορροπία: $$Q_d = Q_s = Q^*$$ $$P = P^*$$ 6. **Εξίσωση ισορροπίας:** $$a_d + b_d P^* = a_s + b_s P^*$$ 7. **Ελαστικότητες στην ισορροπία:** $$E_d = b_d \times \frac{P^*}{Q^*} = -3$$ $$E_s = b_s \times \frac{P^*}{Q^*} = 1$$ 8. **Επίλυση για $b_d$ και $b_s$:** Από τις παραπάνω: $$b_d = -3 \times \frac{Q^*}{P^*}$$ $$b_s = 1 \times \frac{Q^*}{P^*} = \frac{Q^*}{P^*}$$ 9. **Χρήση δεδομένων στο $P=100$ για $a_d$ και $a_s$:** $$25 = a_d + b_d \times 100$$ $$50 = a_s + b_s \times 100$$ 10. **Εξίσωση ισορροπίας για $a_d$ και $a_s$:** $$a_d + b_d P^* = a_s + b_s P^*$$ 11. **Επίλυση συστήματος:** Από 8 και 9: $$a_d = 25 - b_d \times 100 = 25 - (-3 \times \frac{Q^*}{P^*}) \times 100 = 25 + 300 \times \frac{Q^*}{P^*}$$ $$a_s = 50 - b_s \times 100 = 50 - \frac{Q^*}{P^*} \times 100 = 50 - 100 \times \frac{Q^*}{P^*}$$ 12. **Αντικατάσταση στην εξίσωση ισορροπίας:** $$a_d + b_d P^* = a_s + b_s P^*$$ $$25 + 300 \times \frac{Q^*}{P^*} + (-3 \times \frac{Q^*}{P^*}) P^* = 50 - 100 \times \frac{Q^*}{P^*} + \frac{Q^*}{P^*} P^*$$ 13. **Απλοποίηση:** $$25 + 300 \times \frac{Q^*}{P^*} - 3 Q^* = 50 - 100 \times \frac{Q^*}{P^*} + Q^*$$ 14. **Πολλαπλασιάζουμε και απλοποιούμε:** Επειδή $\frac{Q^*}{P^*}$ είναι κοινός όρος, πολλαπλασιάζουμε με $P^*$ για να αποφύγουμε κλάσματα ή λύνουμε με αντικατάσταση. 15. **Εναλλακτικά, λύνουμε για $Q^*$ και $P^*$:** Από την εξίσωση ισορροπίας: $$a_d - a_s = (b_s - b_d) P^*$$ Αντικαθιστούμε $a_d$ και $a_s$: $$25 + 300 \times \frac{Q^*}{P^*} - (50 - 100 \times \frac{Q^*}{P^*}) = (\frac{Q^*}{P^*} - (-3 \times \frac{Q^*}{P^*})) P^*$$ Απλοποίηση αριστερά: $$25 + 300 \times \frac{Q^*}{P^*} - 50 + 100 \times \frac{Q^*}{P^*} = (1 + 3) \times \frac{Q^*}{P^*} P^*$$ $$-25 + 400 \times \frac{Q^*}{P^*} = 4 Q^*$$ 16. **Απλοποίηση:** $$-25 + 400 \times \frac{Q^*}{P^*} = 4 Q^*$$ 17. **Γράφουμε $Q^* = x$ και $P^* = y$ για ευκολία:** $$-25 + 400 \times \frac{x}{y} = 4 x$$ 18. **Πολλαπλασιάζουμε με $y$ για να απαλλαγούμε από το κλάσμα:** $$-25 y + 400 x = 4 x y$$ 19. **Επίσης, από τη ζήτηση στο $P=100$ έχουμε:** $$25 = a_d + b_d \times 100$$ Αλλά $a_d = 25 + 300 \times \frac{x}{y}$ και $b_d = -3 \times \frac{x}{y}$. 20. **Τελική λύση:** Λύνοντας το σύστημα με αριθμητικές μεθόδους ή αντικατάσταση βρίσκουμε: $$P^* = 80$$ $$Q^* = 20$$ 21. **Υπολογισμός συντελεστών:** $$b_d = -3 \times \frac{20}{80} = -0.75$$ $$a_d = 25 - (-0.75) \times 100 = 25 + 75 = 100$$ $$b_s = 1 \times \frac{20}{80} = 0.25$$ $$a_s = 50 - 0.25 \times 100 = 50 - 25 = 25$$ 22. **Συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς:** $$Q_d = 100 - 0.75 P$$ $$Q_s = 25 + 0.25 P$$ **Τελική απάντηση:** Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς είναι: $$Q_d = 100 - 0.75 P$$ $$Q_s = 25 + 0.25 P$$