1. **Δήλωση του προβλήματος:** Στο τρίγωνο ΑΒΓ, γνωρίζουμε ότι η πλευρά AB έχει μήκος 8 cm και η γωνία στο B είναι 64⁰. Πρέπει να βρούμε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. **Εφαρμογή τριγωνομετρικών σχέσεων:** Στο ορθογώνιο τρίγωνο, η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ορίζεται ως ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την προσκείμενη πλευρά. Ο τύπος είναι: $$\tan(\theta) = \frac{\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}$$ 3. **Εφαρμογή στον συγκεκριμένο τρίγωνο:** Η γωνία B είναι 64⁰, η απέναντι πλευρά της γωνίας B είναι η πλευρά ΑΒ (μήκος 8 cm), και η προσκείμενη πλευρά είναι η πλευρά ΒΓ. Άρα: $$\tan(64^\circ) = \frac{AB}{B\Gamma} = \frac{8}{B\Gamma}$$ 4. **Επίλυση για την πλευρά ΒΓ:** $$B\Gamma = \frac{8}{\tan(64^\circ)}$$ 5. **Υπολογισμός της τιμής:** Η τιμή της $\tan(64^\circ)$ είναι περίπου 2.0503. Άρα: $$B\Gamma = \frac{8}{2.0503} \approx 3.90\,cm$$ 6. **Υπολογισμός της πλευράς ΑΓ (υποτείνουσα):** Χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα: $$A\Gamma = \sqrt{AB^2 + B\Gamma^2} = \sqrt{8^2 + 3.90^2} = \sqrt{64 + 15.21} = \sqrt{79.21} \approx 8.9\,cm$$ **Τελικό αποτέλεσμα:** Το μήκος της πλευράς ΑΓ είναι περίπου 8.9 cm.