1. Задача: Найти значение выражения $$\sqrt{5\sqrt{24}} + \sqrt{5-\sqrt{24}}$$. 2. Формулы и правила: Для вычисления выражений с корнями полезно упростить подкоренные выражения и использовать свойства корней, например $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ и $$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$ можно упростить, если представить в виде суммы квадратов. 3. Сначала упростим $$\sqrt{24}$$: $$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$$. 4. Подставим в исходное выражение: $$\sqrt{5 \cdot 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{10\sqrt{6}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$$. 5. Рассмотрим выражение $$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$$. Попробуем представить его в виде $$\sqrt{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$, где $$a$$ и $$b$$ положительные числа. 6. Раскроем квадрат: $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$$. 7. Приравняем к подкоренному выражению: $$a + b = 5$$ и $$2\sqrt{ab} = 2\sqrt{6} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{6} \Rightarrow ab = 6$$. 8. Решим систему: $$a + b = 5$$ $$ab = 6$$. 9. Подставим $$b = 5 - a$$ в $$ab = 6$$: $$a(5 - a) = 6 \Rightarrow 5a - a^2 = 6 \Rightarrow a^2 - 5a + 6 = 0$$. 10. Решим квадратное уравнение: $$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$. 11. Получаем два корня: $$a_1 = 3, \quad a_2 = 2$$. 12. Тогда $$b_1 = 5 - 3 = 2$$ и $$b_2 = 5 - 2 = 3$$. 13. Выберем пару $$a=3$$ и $$b=2$$, тогда: $$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$. 14. Теперь упростим $$\sqrt{10\sqrt{6}}$$. Представим $$\sqrt{6}$$ как $$\sqrt{6}$$ и попробуем представить $$10\sqrt{6}$$ как квадрат некоторого выражения: Пусть $$\sqrt{10\sqrt{6}} = \sqrt{x}$$, где $$x = 10\sqrt{6}$$. 15. Попробуем представить $$\sqrt{10\sqrt{6}}$$ в виде $$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$ или $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$, но проще оставить как есть для сложения с другим корнем. 16. Итоговое выражение: $$\sqrt{10\sqrt{6}} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$$. 17. Для дальнейшего упрощения попробуем представить $$\sqrt{10\sqrt{6}}$$ в виде $$\sqrt{m} + \sqrt{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ положительные числа. 18. Пусть: $$(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2 = m + n + 2\sqrt{mn} = 10\sqrt{6}$$. 19. Значит: $$m + n = 0$$ и $$2\sqrt{mn} = 10\sqrt{6}$$. 20. Но $$m + n = 0$$ невозможно для положительных чисел, значит такой разложение не подходит. 21. Тогда оставим $$\sqrt{10\sqrt{6}}$$ как есть и вычислим численно: $$\sqrt{6} \approx 2.4495$$ $$10 \times 2.4495 = 24.495$$ $$\sqrt{24.495} \approx 4.9497$$. 22. Вычислим $$\sqrt{3} - \sqrt{2}$$: $$\sqrt{3} \approx 1.732$$ $$\sqrt{2} \approx 1.414$$ $$1.732 - 1.414 = 0.318$$. 23. Сложим: $$4.9497 + 0.318 = 5.2677$$. 24. Ответ: $$\sqrt{5\sqrt{24}} + \sqrt{5 - \sqrt{24}} \approx 5.27$$ (округлено до двух знаков после запятой).