1. Задача: Найти точку на параболе $$y^2 = 32x$$, которая находится на расстоянии 2 единиц от прямой $$4x + 3y + 10 = 0$$. 2. Формула расстояния точки $$(x_0,y_0)$$ от прямой $$Ax + By + C = 0$$: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ 3. Подставим в формулу расстояния: $$d = 2 = \frac{|4x + 3y + 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4x + 3y + 10|}{5}$$ 4. Умножим обе части на 5: $$|4x + 3y + 10| = 10$$ 5. Значит, два варианта: $$4x + 3y + 10 = 10$$ или $$4x + 3y + 10 = -10$$ 6. Упростим: - Первый случай: $$4x + 3y = 0$$ - Второй случай: $$4x + 3y = -20$$ 7. Парабола: $$y^2 = 32x \Rightarrow x = \frac{y^2}{32}$$ 8. Подставим $$x = \frac{y^2}{32}$$ в уравнения прямых: Первый случай: $$4\cdot \frac{y^2}{32} + 3y = 0 \Rightarrow \frac{y^2}{8} + 3y = 0$$ 9. Умножим на 8: $$y^2 + 24y = 0$$ 10. Вынесем $y$ за скобки: $$y(y + 24) = 0$$ 11. Корни: $$y = 0$$ или $$y = -24$$ 12. Найдем соответствующие $x$: - Для $$y=0$$: $$x = \frac{0^2}{32} = 0$$ - Для $$y=-24$$: $$x = \frac{(-24)^2}{32} = \frac{576}{32} = 18$$ 13. Точки первого случая: $$(0,0)$$ и $$(18,-24)$$ 14. Второй случай: $$4\cdot \frac{y^2}{32} + 3y = -20 \Rightarrow \frac{y^2}{8} + 3y + 20 = 0$$ 15. Умножим на 8: $$y^2 + 24y + 160 = 0$$ 16. Решим квадратное уравнение: Дискриминант: $$D = 24^2 - 4\cdot 1 \cdot 160 = 576 - 640 = -64 < 0$$ 17. Корней нет, значит решений во втором случае нет. 18. Ответ: точки на параболе, находящиеся на расстоянии 2 от прямой: $$(0,0)$$ и $$(18,-24)$$.