1. Задача: составить уравнение эллипса с эксцентриситетом $e=0{,}8$, фокальными радиусами $r_1=2$ и $r_2=3$ для одной точки, большая ось совпадает с осью абсцисс, центр в начале координат. 2. Формулы и обозначения: - Большая полуось: $a$ - Малая полуось: $b$ - Фокусное расстояние: $c$ - Эксцентриситет: $e=\frac{c}{a}$ - Связь между полуосями и фокусным расстоянием: $c^2=a^2-b^2$ - Уравнение эллипса с центром в начале и большой осью по оси $x$: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 3. Из условия: $e=0{,}8$, значит $$c=ea=0{,}8a$$ 4. Фокальные радиусы для точки $(x,y)$ на эллипсе равны расстояниям до фокусов: $r_1=2$, $r_2=3$. Сумма фокальных радиусов равна $2a$, то есть: $$r_1 + r_2 = 2a \Rightarrow 2 + 3 = 2a \Rightarrow 5 = 2a \Rightarrow a=\frac{5}{2}=2{,}5$$ 5. Найдем $c$: $$c=0{,}8 \times 2{,}5=2$$ 6. Найдем $b$ из $c^2 = a^2 - b^2$: $$2^2 = 2{,}5^2 - b^2$$ $$4 = 6{,}25 - b^2$$ $$b^2 = 6{,}25 - 4 = 2{,}25$$ $$b = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$$ 7. Запишем уравнение эллипса: $$\frac{x^2}{2{,}5^2} + \frac{y^2}{1{,}5^2} = 1$$ $$\frac{x^2}{6{,}25} + \frac{y^2}{2{,}25} = 1$$ Ответ: уравнение эллипса $$\frac{x^2}{6{,}25} + \frac{y^2}{2{,}25} = 1$$