1. Сформулюємо задачу: розглянемо алгоритм Кулі-Тьюкі для швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). 2. Теоретичні відомості: ШПФ дозволяє ефективно обчислити дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) за час $O(n \log n)$ замість $O(n^2)$ у прямому обчисленні. 3. Формула ДПФ для послідовності $x_0, x_1, ..., x_{n-1}$: $$X_k = \sum_{j=0}^{n-1} x_j e^{-2\pi i \frac{jk}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1$$ 4. Алгоритм Кулі-Тьюкі розбиває ДПФ розміру $n$ на дві ДПФ розмірів $n_1$ та $n_2$ (де $n=n_1 n_2$), що дозволяє рекурсивно обчислити перетворення. 5. Основна ідея: переставити індекси та розкласти суму, щоб використовувати менші ДПФ, застосовуючи формулу: $$X_{k_1 + k_2 n_1} = \sum_{j_2=0}^{n_2-1} \left( \sum_{j_1=0}^{n_1-1} x_{j_1 n_2 + j_2} e^{-2\pi i \frac{j_1 k_1}{n_1}} \right) e^{-2\pi i \frac{j_2 (k_1 + k_2 n_1)}{n}}$$ 6. Кроки алгоритму: - Розбити вхідний сигнал на $n_2$ підпослідовностей довжини $n_1$. - Обчислити ДПФ кожної підпослідовності. - Помножити результати на коефіцієнти-твістери $e^{-2\pi i \frac{j_2 k}{n}}$. - Обчислити ДПФ розміру $n_2$ над отриманими значеннями. 7. В Octave для реалізації можна використовувати рекурсивну функцію, що реалізує цей алгоритм, або вбудовану функцію fft. 8. Щодо файлів: у цьому чаті не можна надсилати файли, але ви можете вставити код або текст безпосередньо. Таким чином, алгоритм Кулі-Тьюкі є ефективним методом обчислення ШПФ, що базується на розбитті ДПФ на менші частини та рекурсивному обчисленні.