1. مسئله: محاسبه امید ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی. 2. امید ریاضی (میانگین) تعریف می‌شود به صورت: $$E(X) = \sum x_i P(x_i)$$ که در آن $x_i$ مقادیر ممکن متغیر تصادفی و $P(x_i)$ احتمال وقوع هر مقدار است. 3. واریانس تعریف می‌شود به صورت: $$Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$$ 4. برای محاسبه واریانس ابتدا باید $E(X)$ و $E(X^2)$ را محاسبه کنیم. 5. مثال: فرض کنید متغیر تصادفی $X$ با مقادیر $x_1, x_2, ..., x_n$ و احتمال‌های متناظر $p_1, p_2, ..., p_n$ داریم. 6. ابتدا امید ریاضی را محاسبه می‌کنیم: $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i$$ 7. سپس امید مربع متغیر را محاسبه می‌کنیم: $$E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i$$ 8. نهایتاً واریانس را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم: $$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ این فرمول‌ها برای متغیرهای تصادفی گسسته کاربرد دارد. اگر داده‌های خاصی دارید، می‌توانید مقادیر و احتمال‌ها را جایگزین کنید و محاسبه را انجام دهید.