1. صورت مسئله: تابع $f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}\exp\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$ برای $(x,y)\neq(0,0)$ و $f(0,0)=0$ تعریف شده است. 2. پیوستگی در نقاط غیر از مبدا: تابع روی نقاطی که $(x,y)\neq(0,0)$ پیوسته است چون صورت و مخرج چندجمله‌ای و تابع نمائی ترکیبی از توابع پیوسته‌اند و مخرج در این نقاط صفر نیست، زیرا برای $(x,y)\neq(0,0)$ داریم $x^4+y^2>0$. 3. رفتار نزدیک مبدا و تعیین پیوستگی در مبدا: برای بررسی مقدار حد هنگام $(x,y)\to(0,0)$ از مسیرهای خاص استفاده می‌کنیم. 4. مسیرهای سهمی $y=a x^2$ با ثابت $a\neq 0$: جایگذاری $y=a x^2$ در عبارت داخلی می‌دهد $\frac{x^2 y}{x^4+y^2}=\frac{a x^4}{x^4(1+a^2)}$. $\frac{a x^4}{x^4(1+a^2)}=\frac{a\cancel{x^4}}{\cancel{x^4}(1+a^2)}=\frac{a}{1+a^2}$. پس برای این مسیرها داریم $f(x,a x^2)=\frac{a}{1+a^2}\;\exp\left(\frac{1}{x^2+a^2 x^4}\right)$. 5. نتیجه‌گیری از مسیرهای سهمی: وقتی $x\to 0$، عبارت در نمایی تقریباً مانند $\exp(1/x^2)$ رفتار می‌کند و بنابراین برای $a>0$ مقدار به $+\infty$ و برای $a<0$ به $-\infty$ میل می‌کند. 6. مقایسه با مسیر $y=0$: اگر $y=0$ آنگاه برای $x\neq 0$ داریم $f(x,0)=0$. 7. جمع‌بندی پیوستگی: چون از بعضی مسیرها حد بی‌نهایت مثبت یا منفی است و از مسیر دیگری حد صفر است، حد کلی هنگام $(x,y)\to(0,0)$ وجود ندارد و بنابراین تابع در مبدا پیوسته نیست، اگرچه مقدار $f(0,0)=0$ تعریف شده است. 8. برد تابع (مجموع مقادیر ممکن): ابتدا $0$ را می‌توان با نقاط روی محور $y=0$ به‌دست آورد. 9. برای به‌دست‌آوردن هر مقدار دلخواه $M\neq 0$، مسیر $y=a x^2$ را در نظر بگیرید با $a$ هم‌علامت با $M$ (پس عامل پیش‌نمایی $\frac{a}{1+a^2}\neq 0$). معادله سطح برای این مسیر به صورت $\frac{a}{1+a^2}\;\exp\left(\frac{1}{x^2+a^2 x^4}\right)=M$ است. 10. با انتخاب $x$ کوچک می‌توان مقدار نمایی را هر قدر بزرگ کرد و از معادله بالا برای $x$ مناسب حل پیدا کرد، لذا برای هر $M\neq 0$ نقطه‌ای وجود دارد که $f(x,y)=M$ را برآورده کند. 11. بنابراین برد تابع برابر $\mathbb{R}$ است (همه اعداد حقیقی را می‌گیرد). 12. وجود یا عدم وجود ماکزیمم/مینیمم مطلق: چون برد همه اعداد حقیقی است، تابع نه ماکزیمم مطلق دارد و نه مینیمم مطلق دارد. 13. تحلیل منحنی‌های تراز $f(x,y)=c$: 14. حالت $c=0$: مجموعه تراز شامل محور $y=0$ است چون برای هر $x\neq 0$ داریم $f(x,0)=0$ و همچنین ممکن است نقاط دیگری با صورت صفر وجود داشته باشد (هرگاه $y=0$ یا به صورت دیگری صورت صفر شود). 15. حالت $c\neq 0$: همان‌طور که در مسیرهای سهمی دیدیم، برای هر ثابت $a$ با علامت مناسب و برای $x$ کوچک معادله $\frac{a}{1+a^2}\;\exp\left(\frac{1}{x^2+a^2 x^4}\right)=c$ قابل حل است، یعنی منحنی‌های تراز برای $c\neq 0$ شاخه‌هایی دارند که به مبدا نزدیک می‌شوند و تقریباً از کنار منحنی‌های سهمی $y=a x^2$ عبور می‌کنند، به‌طوری که ضریب $a/(1+a^2)$ علامت و اندازه‌ی پیش‌عامل را مشخص می‌کند. 16. تفاوت ساختاری منحنی‌های تراز برای مقادیر مثبت و منفی $c$: برای $c>0$ منحنی‌ها در نیمۀ بالایی (ناحیه‌هایی با $y>0$) و برای $c<0$ در نیمۀ پایینی (ناحیه‌هایی با $y<0$) تجمع دارند، و همه این منحنی‌ها می‌توانند تا نزدیکی مبدا کشیده شوند و در آنجا چگالی و شاخه‌های زیادی دارند. 17. نتیجهٔ کلی و جمع‌بندی: تابع روی $\mathbb{R}^2$ با تعریف $f(0,0)=0$ دارای پیوستگی در همه نقاط به‌جز مبدا است، برد آن $\mathbb{R}$ است، هیچ ماکزیمم یا مینیمم مطلقی ندارد، و منحنی‌های تراز ساختار شاخه‌ای دارند که به‌ویژه نزدیک مبدا متعدد و وابسته به مسیرهای سهمی هستند.