1. نبدأ بتعريف المشكلة: نريد نمذجة الكلفة الإجمالية والربح والعرض والطلب باستخدام دالة مركبة مع الدالة اللوغاريتمية النيبيرية (اللوغاريتم الطبيعي). 2. الدالة اللوغاريتمية النيبيرية هي $\ln(x)$، وهي تستخدم لتحويل العلاقات الأسية إلى علاقات خطية أو لتبسيط النماذج الاقتصادية. 3. لنفترض أن الكلفة الإجمالية $C(x)$ تعتمد على كمية الإنتاج $x$، ويمكن نمذجتها بدالة مثل $C(x) = a + b \ln(x)$ حيث $a$ و $b$ ثوابت تمثل التكاليف الثابتة والمتغيرة. 4. الربح $P(x)$ هو الفرق بين الإيرادات $R(x)$ والكلفة $C(x)$، أي $P(x) = R(x) - C(x)$. 5. الإيرادات يمكن نمذجتها بدالة الطلب، مثلاً $R(x) = p(x) \times x$ حيث $p(x)$ هو سعر الوحدة، والذي قد يعتمد على العرض والطلب. 6. يمكن نمذجة السعر باستخدام دالة لوغاريتمية أيضاً، مثلاً $p(x) = c - d \ln(x)$ حيث $c$ و $d$ ثوابت تمثل تأثير العرض والطلب على السعر. 7. إذن الربح يصبح: $$P(x) = x(c - d \ln(x)) - (a + b \ln(x))$$ 8. هذه الدالة مركبة حيث تحتوي على دوال لوغاريتمية نيبيرية داخل تعبيرات متعددة. 9. يمكن تحليل هذه الدالة لدراسة نقاط التعادل، أقصى الربح، أو تأثير التغير في الكميات على الربح. النتيجة النهائية: $$P(x) = cx - dx \ln(x) - a - b \ln(x)$$