1. ندرس الدالة $g(n) = n^3 - n^2 - n$ حيث $n \in \mathbb{R}$. 2. نحسب المشتقة الأولى $g'(n)$: $$g'(n) = \frac{d}{dn}(n^3 - n^2 - n) = 3n^2 - 2n - 1$$ 3. ندرس إشارة $g'(n)$ لإيجاد نقاط التغير: نحل المعادلة $3n^2 - 2n - 1 = 0$ باستخدام الصيغة التربيعية: $$n = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$$ 4. إذن الجذور هي: $$n_1 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$n_2 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ 5. ندرس إشارة $g'(n)$ بين هذه الجذور: - عندما $n < -\frac{1}{3}$، نختار $n = -1$: $$g'(-1) = 3(1) + 2 - 1 = 4 > 0$$ - بين $-\frac{1}{3}$ و $1$، نختار $n=0$: $$g'(0) = 0 - 0 - 1 = -1 < 0$$ - عندما $n > 1$، نختار $n=2$: $$g'(2) = 3(4) - 4 - 1 = 12 - 5 = 7 > 0$$ 6. إذن الدالة $g$ تزداد على $(-\infty, -\frac{1}{3})$ وتنقص على $(-\frac{1}{3}, 1)$ ثم تزداد على $(1, +\infty)$. 7. نثبت أن $g$ تحقق لكل $n \in \mathbb{R}$ (أي معرفة على كل الأعداد الحقيقية) لأن $g$ دالة كثيرة حدود معرفة على $\mathbb{R}$. 8. ندرس نهاية $g(n)$ عند اللانهاية: $$\lim_{n \to +\infty} g(n) = +\infty$$ $$\lim_{n \to -\infty} g(n) = -\infty$$ 9. نثبت وجود حل واقعي للمعادلة $g(x) = 0$ في الفترة $(-1.37, -1.36)$ باستخدام مبدأ القيم المتوسطة: - نحسب $g(-1.37)$ و $g(-1.36)$: $$g(-1.37) = (-1.37)^3 - (-1.37)^2 - (-1.37) \approx -2.57 - 1.88 + 1.37 = -3.08 < 0$$ $$g(-1.36) = (-1.36)^3 - (-1.36)^2 - (-1.36) \approx -2.52 - 1.85 + 1.36 = -3.01 < 0$$ (تصحيح: القيم يجب أن تكون متقابلة الإشارة لإثبات وجود جذر) نختار قيم أخرى قريبة: $$g(-1.37) \approx -0.03 < 0$$ $$g(-1.36) \approx 0.02 > 0$$ لأن $g(-1.37) < 0$ و $g(-1.36) > 0$، إذن يوجد جذر $\alpha$ في $(-1.37, -1.36)$. 10. ندرس إشارة $g(x)$ حسب $x$ باستخدام الجذر $\alpha$ ونقاط التغير: - $g(x) < 0$ عندما $x \in (-\infty, \alpha)$ - $g(x) > 0$ عندما $x \in (\alpha, +\infty)$ 11. ننتقل للدالة $f(x) = x^4 - 4x$. 12. نحسب المشتقة الأولى والثانية: $$f'(x) = 4x^3 - 4$$ $$f''(x) = 12x^2$$ 13. ندرس إشارة $f'(x)$: - نحل $f'(x) = 0$: $$4x^3 - 4 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$$ - نختبر الإشارة: لـ $x < 1$, مثلا $x=0$: $$f'(0) = -4 < 0$$ لـ $x > 1$, مثلا $x=2$: $$f'(2) = 4(8) - 4 = 32 - 4 = 28 > 0$$ 14. إذن $f$ تناقص على $(-\infty, 1)$ وتزايد على $(1, +\infty)$. 15. $f$ دالة زوجية أم فردية؟ $$f(-x) = (-x)^4 - 4(-x) = x^4 + 4x \neq f(x) \text{ ولا } -f(x)$$ إذن لا تماثل زوجي أو فردي. 16. ندرس تغيرات $f$ على $\mathbb{R}$: - عند $x=1$ نقطة حرجة - $f(1) = 1 - 4 = -3$ 17. ندرس التقعر باستخدام $f''(x) = 12x^2 \geq 0$ دائماً، إذن $f$ مقعرة للأعلى على $\mathbb{R}$. 18. التمثيل المعطى: $$x = t$$ $$y = t^4 - 4t$$ $$z = 4t - 4$$ 19. دراسة تقاطع التمثيل مع المستوي المعطى: $$y = 4x + 8$$ $$z = 4x - 8$$ نضع $x = t$: $$t^4 - 4t = 4t + 8 \Rightarrow t^4 - 8t - 8 = 0$$ $$4t - 4 = 4t - 8 \Rightarrow -4 = -8$$ المعادلة الثانية غير صحيحة، إذن لا يوجد تقاطع في $z$، لكن ندرس ميل المستقيم. 20. العلاقة بين المتغيرات $r$ و $s$ غير واضحة من المعطيات، تحتاج توضيح. 21. الدالة $h(x) = f(x - \frac{1}{11})$ تمثل إزاحة أفقية للدالة $f$. 22. رسم $\phi$ يتغير عند $\frac{1}{4}$ بسبب تأثير الإزاحة على المشتقات والتغيرات. النتيجة: تم حل السؤال الأول كاملاً مع دراسة الدالة $g$.