1. بیان مسئله: تابع مرز بالایی داده شده است و می‌خواهیم حجم حاصل از دوران نیمهٔ بالایی آن حول محور x را محاسبه کنیم. $$y=\sqrt{8.58^2-\frac{(x-11.1)^2}{1.23^2}}$$ 2. فرمول مورد استفاده و قوانین مهم: برای دوران حول محور x از فرمول استفاده می‌کنیم. $$V=\pi\int_a^b y^2\,dx$$ قانون مهم: چون $y\ge 0$ نیمهٔ بالایی بیضی است، می‌توانیم $y^2$ را مستقیم در انتگرال قرار دهیم. 3. تعیین بازهٔ انتگرال (دامنهٔ تعریف تابع): زیر رادیکال باید غیرمنفی باشد، یعنی $\frac{(x-11.1)^2}{1.23^2}\le 8.58^2$. بنابراین نیم محور افقی بیضی برابر است با $a=1.23\times 8.58=10.5534$. پس حدود انتگرال عبارتند از $x_1=11.1-10.5534=0.5466$ و $x_2=11.1+10.5534=21.6534$. 4. نوشتن انتگرال و ساده‌سازی integrand: چون $y^2=8.58^2-\dfrac{(x-11.1)^2}{1.23^2}$، انتگرال به صورت زیر می‌شود. $$V=\pi\int_{0.5466}^{21.6534}\left(8.58^2-\frac{(x-11.1)^2}{1.23^2}\right)dx$$ 5. استفاده از تقارن برای محاسبهٔ انتگرال: با جایگذاری $u=x-11.1$ و خواص تقارن، حدود به $-a$ تا $a$ تبدیل می‌شوند و داریم: $$V=\pi\int_{-a}^{a}\left(8.58^2-\frac{u^2}{1.23^2}\right)du$$ که با استفاده از خطی بودن انتگرال و محاسبهٔ صریح به شکل زیر می‌رسیم. $$V=2\pi\left(8.58^2\,a-\frac{1}{1.23^2}\cdot\frac{a^3}{3}\right)$$ 6. محاسبات عددی گام‌به‌گام (همهٔ کارهای میانی): ابتدا مقادیر میانی را محاسبه می‌کنیم. $8.58^2=73.6164$. $a=10.5534$ و $a^3\approx 1175.37702641$. بنابراین $\dfrac{a^3}{3}\approx 391.79234214$. همچنین $1.23^2=1.5129$ و $\dfrac{1}{1.23^2}\approx 0.660981717$. اکنون جملات داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم: $8.58^2\,a=73.6164\times 10.5534\approx 776.90331576$. $\dfrac{1}{1.23^2}\cdot\dfrac{a^3}{3}\approx 0.660981717\times 391.79234214\approx 258.9675788$. تفاضل داخل پرانتز: $776.90331576-258.9675788\approx 517.93573696$. ضرب در 2 و سپس در $\pi$ می‌دهد: $V=2\pi\times 517.93573696\approx 1035.87147392\pi\approx 3254.247676$. 7. جواب نهایی: مقدار حجم با تقریب عددی برابر است با $$V\approx 3254.25$$ (واحد مکعب).