1. **بيان المسألة:** نريد إنشاء تمرين لشعبة تسيير واقتصاد يتضمن جداء دالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية مع دالة تآلفية مركبة مع دالة أسية، ثم نمذجة هذه الدالة في وضعية اقتصادية وإيجاد الحل. 2. **صياغة الدالة:** لنفترض الدالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية: $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ ودالة تآلفية مع الدالة الأسية: $$f(x) = e^{kx}$$ حيث $a,b,c,k$ أعداد حقيقية. 3. **جداء الدالتين:** الدالة المركبة المطلوبة هي: $$G(x) = P(x) \cdot f(x) = (ax^2 + bx + c) e^{kx}$$ 4. **نمذجة الوضعية الاقتصادية:** نفترض أن $x$ تمثل الوقت (بالسنوات) و$G(x)$ تمثل إيرادات شركة تعتمد على نمو أسّي مع تأثير عوامل أخرى (مثل استثمارات أو تكاليف) ممثلة بالدالة كثيرة الحدود. 5. **إيجاد الحل (مثلاً إيجاد النقاط الحرجة):** لإيجاد النقاط التي تحقق أقصى أو أدنى إيرادات، نحسب مشتقة $G(x)$ ونساويها بالصفر: $$G'(x) = \frac{d}{dx} \left( (ax^2 + bx + c) e^{kx} \right)$$ باستخدام قاعدة الضرب: $$G'(x) = (2ax + b) e^{kx} + (ax^2 + bx + c) k e^{kx}$$ نستطيع كتابة: $$G'(x) = e^{kx} \left( 2ax + b + k(ax^2 + bx + c) \right)$$ 6. **حل المعادلة $G'(x) = 0$:** بما أن $e^{kx} \neq 0$ لأي $x$، نركز على: $$2ax + b + k(ax^2 + bx + c) = 0$$ نرتبها: $$k a x^2 + (2a + k b) x + (b + k c) = 0$$ 7. **حل المعادلة التربيعية:** نستخدم صيغة الحل: $$x = \frac{-(2a + k b) \pm \sqrt{(2a + k b)^2 - 4 k a (b + k c)}}{2 k a}$$ 8. **تفسير الحل:** هذه القيم لـ $x$ تمثل أوقات تحقيق أقصى أو أدنى إيرادات. **مثال رقمي:** لنفترض $a=1$, $b=-3$, $c=2$, $k=0.5$. المعادلة تصبح: $$0.5 \cdot 1 \cdot x^2 + (2 \cdot 1 + 0.5 \cdot (-3)) x + (-3 + 0.5 \cdot 2) = 0$$ أي: $$0.5 x^2 + (2 - 1.5) x + (-3 + 1) = 0$$ $$0.5 x^2 + 0.5 x - 2 = 0$$ نضرب في 2 للتبسيط: $$x^2 + x - 4 = 0$$ نستخدم صيغة الحل: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$$ **النتيجة النهائية:** النقاط الحرجة عند: $$x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56$$ و $$x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \approx -2.56$$ هذه تمثل أوقات تغير الإيرادات القصوى أو الدنيا في النموذج الاقتصادي.