1. **بيان المشكلة:** نريد إثبات أنه يمكن تمثيل أي مبلغ أكبر من 7 باستخدام قطع نقود معدنية من فئتي 3 و5. 2. **قاعدة الاستقراء الرياضي:** - نثبت صحة العبارة لعدد أساسي (قاعدة البداية). - نفترض صحة العبارة لعدد معين $k \geq 8$. - نثبت صحة العبارة للعدد التالي $k+1$. 3. **قاعدة البداية:** - تحقق من المبالغ من 8 إلى 10: - 8 = 3 + 5 - 9 = 3 + 3 + 3 - 10 = 5 + 5 4. **فرضية الاستقراء:** - نفترض أن أي مبلغ $k \geq 8$ يمكن تمثيله باستخدام 3 و5. 5. **خطوة الاستقراء:** - نريد إثبات أن المبلغ $k+1$ يمكن تمثيله أيضاً. - بما أن $k \geq 8$، فالمبلغ $k-2 \geq 6$. - حسب فرضية الاستقراء، $k-2$ يمكن تمثيله باستخدام 3 و5. - بإضافة قطعة 3 إلى تمثيل $k-2$ نحصل على $k+1$ لأن $k+1 = (k-2) + 3$. 6. **الاستنتاج:** - بما أن قاعدة البداية صحيحة وخطوة الاستقراء صحيحة، فإن أي مبلغ أكبر من 7 يمكن تمثيله باستخدام قطع نقود 3 و5. **النتيجة النهائية:** $$\text{أي مبلغ } n > 7 \text{ يمكن كتابته كـ } n = 3x + 5y \text{ حيث } x,y \geq 0.$$