1. **بيان المشكلة:** نريد إثبات أنه يمكن تمثيل أي مبلغ من المال يزيد عن 7 باستخدام قطع نقود معدنية من فئتي 3 و5. 2. **قاعدة الاستقراء الرياضي:** - نثبت صحة العبارة لعدد أساسي (قاعدة البداية). - نفترض صحة العبارة لعدد معين $k \geq 8$ (فرض الاستقراء). - نثبت صحة العبارة للعدد التالي $k+1$. 3. **قاعدة البداية:** - نثبت أن المبالغ 8، 9، 10 يمكن تمثيلها باستخدام 3 و5. - 8 = 3 + 5 - 9 = 3 + 3 + 3 - 10 = 5 + 5 4. **فرض الاستقراء:** - نفترض أن أي مبلغ $k \geq 8$ يمكن تمثيله باستخدام 3 و5. 5. **خطوة الاستقراء:** - نريد إثبات أن $k+1$ يمكن تمثيله باستخدام 3 و5. - بما أن $k \geq 8$، فإن $k-2 \geq 6$. - حسب فرض الاستقراء، $k-2$ يمكن تمثيله باستخدام 3 و5. - بإضافة قطعة 3 إلى تمثيل $k-2$، نحصل على $k+1 = (k-2) + 3$. 6. **الاستنتاج:** - بما أن $k-2$ يمكن تمثيله، وقطع 3 متاحة، فإن $k+1$ يمكن تمثيله. - إذن، حسب مبدأ الاستقراء الرياضي، يمكن تمثيل أي مبلغ يزيد عن 7 باستخدام قطع 3 و5. **النتيجة النهائية:** $$\text{أي مبلغ } n > 7 \text{ يمكن كتابته كـ } n = 3a + 5b \text{ حيث } a,b \in \mathbb{N}_0.$$