1. **المسألة الأولى:** إذا كان ع (ب، هـ) = ك (-1، -1) وع ع ك = 12 وحدة، جد قيمة ب. - المعطى: ع (ب، هـ) = ك (-1، -1) يعني أن ع هو متجه أو دالة تأخذ (ب، هـ) وتعطي ك (-1، -1). - ع ك = 12 وحدة يعني طول المتجه ع ك = 12. نفترض أن ع (ب، هـ) = ك (-1، -1) تعني أن المتجه من ع إلى ك هو (-1، -1) مضروب في ك. طول المتجه ع ك = 12 طول المتجه = $\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ إذاً $|ع ك| = |ك| \times \sqrt{2} = 12$ نجد قيمة ك: $$|ك| = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$ بالتالي: $$ع (ب، هـ) = 6\sqrt{2} (-1, -1) = (-6\sqrt{2}, -6\sqrt{2})$$ إذاً ب = $-6\sqrt{2}$. 2. **المسألة الثانية:** جد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل وعمودي على المستقيم حس = س + 2. - معادلة المستقيم المعطى: $y = x + 2$ - ميل المستقيم المعطى: $m = 1$ - ميل المستقيم العمودي هو مقلوب سالب الميل الأصلي: $$m_{عمودي} = -\frac{1}{1} = -1$$ - معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل (0،0) وميله $-1$: $$y = -1 \times x + 0 = -x$$ 3. **المسألة الثالثة:** إذا كانت (م، ص) = (2، 0) و (هـ، و) = (7، 0) جد: 1) إحداثيات نقطة المنتصف: $$\text{منتصف} = \left( \frac{2 + 7}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (4.5, 0)$$ 2) طول القطعة آ ب: $$\text{الطول} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0} = 5$$ 4. **المسألة الرابعة:** جد قيمة م التي تجعل المستقيم المار بالنقطتين (1، 2) و (0، 5) يوازي المستقيم الذي معادلته ب س = 1 + 8. - المعادلة المعطاة: $ب س = 1 + 8$ يمكن كتابتها كـ $y = 8x + 1$ - ميل المستقيم المعطى: $m = 8$ - ميل المستقيم المار بالنقطتين (1، 2) و (0، 5): $$m = \frac{5 - 2}{0 - 1} = \frac{3}{-1} = -3$$ - المطلوب: قيمة م تجعل المستقيم يوازي المستقيم $y = 8x + 1$، أي ميله يساوي 8. - إذا كان المستقيم يمر بالنقطتين (1، 2) و (0، 5) مع تغيير قيمة م في احد الإحداثيات (غير واضح في السؤال أي إحداثي م), نفترض أن م هو إحداثي x للنقطة الأولى بدلاً من 1، أي النقطة (م، 2). - ميل المستقيم الجديد: $$m = \frac{5 - 2}{0 - م} = \frac{3}{-م} = -\frac{3}{م}$$ - نساوي الميل 8: $$-\frac{3}{م} = 8 \Rightarrow م = -\frac{3}{8}$$ **النتائج النهائية:** - ب = $-6\sqrt{2}$ - معادلة المستقيم العمودي: $y = -x$ - نقطة المنتصف: $(4.5, 0)$ - طول القطعة: $5$ - قيمة م: $-\frac{3}{8}$