1. **تحديد العبارات الصحيحة من التمرين 1:** - العبارة 1: $(-4) = (-2)^2$ غير صحيحة لأن $(-2)^2 = 4$ وليس $-4$. - العبارة 2: $1 = -2$ غير صحيحة. - العبارة 3: $\{n \in \mathbb{N}\} \wedge \sqrt{n} \in \mathbb{N}$ تعني أن $n$ عدد طبيعي وجذر $n$ عدد طبيعي، وهذا صحيح فقط للأعداد التي هي مربعات كاملة. 2. **تمرين 2: إيجاد حدود المتتالية العددية $\{3 \leq (\sqrt{2} + \sqrt{5}) n \in \mathbb{R}\}$** - المتتالية هي $a_n = (\sqrt{2} + \sqrt{5}) n$. - الحد الأول $a_1 = \sqrt{2} + \sqrt{5}$. - الحد الثاني $a_2 = 2(\sqrt{2} + \sqrt{5})$. - الحد الثالث $a_3 = 3(\sqrt{2} + \sqrt{5})$. 3. **تمرين 3: عدد القناني المتبقية** - عدد المتعطرات الكلي = 300. - عدد الوقت = 90 (مفهوم غير واضح، نفترض أنه عدد القناني المستخدمة). - إذن عدد القناني المتبقية = $300 - 90 = 210$. 4. **تمرين 4: حل المعادلات في $\mathbb{R}$** 1) $(2x - 3)(9x + 3) = 0$ - إما $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ - أو $9x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$ 2) $3x^2 - 2x - 12 \geq 0$ - نوجد جذور المعادلة $3x^2 - 2x - 12 = 0$ باستخدام $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-12) = 4 + 144 = 148$ - الجذور: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{148}}{2 \times 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{37}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{3}$$ - لأن معامل $a=3 > 0$ فإن $3x^2 - 2x - 12 \geq 0$ عندما: $$x \leq \frac{1 - \sqrt{37}}{3} \quad \text{أو} \quad x \geq \frac{1 + \sqrt{37}}{3}$$ 5. **تمرين 5: حل نظام المعادلات** 1) $$\begin{cases} 4x + 5y = 47 \\ x + y = 11 \end{cases}$$ - من المعادلة الثانية: $y = 11 - x$ - التعويض في الأولى: $$4x + 5(11 - x) = 47 \Rightarrow 4x + 55 - 5x = 47 \Rightarrow -x = -8 \Rightarrow x = 8$$ - إذن $y = 11 - 8 = 3$ 2) ثمن الدفتر $x$ وثمن القلم $y$: - $4x + 5y = 47$ - $x + y = 11$ - من الثانية: $y = 11 - x$ - التعويض في الأولى: $$4x + 5(11 - x) = 47 \Rightarrow 4x + 55 - 5x = 47 \Rightarrow -x = -8 \Rightarrow x = 8$$ - إذن $y = 11 - 8 = 3$ 6. **تمرين 6: حساب الثمن الجديد للحذاء والبذلة** - ثمن الحذاء الأصلي = 100 - زيادة 8%: $100 + 0.08 \times 100 = 108$ - ثمن البذلة الأصلي = 220 - نقصان 10%: $220 - 0.10 \times 220 = 198$ **النتائج النهائية:** - الحذاء: 108 - البذلة: 198