1. **بيان المسألة:** ندرس الدالة $f(x) = x\sqrt{1+x}$ ونجيب عن الأسئلة المتعلقة بها خطوة بخطوة. 2. **تحديد مجال الدالة $D_f$:** - الدالة تحتوي على جذر تربيعي $\sqrt{1+x}$، لذا يجب أن يكون ما تحت الجذر غير سالب: $$1+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$ - إذن، مجال الدالة هو: $$D_f = [-1, +\infty[ $$ 3. **قابلية الاشتقاق عند $x = -1$ من اليمين والتأويل الهندسي:** - نحسب مشتقة $f$: $$f(x) = x(1+x)^{1/2}$$ باستخدام قاعدة الضرب: $$f'(x) = (1+x)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}}$$ - عند $x = -1$ من اليمين: $$\lim_{x \to -1^+} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} \left(\sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}}\right)$$ نلاحظ أن: $$\sqrt{1+x} \to 0^+, \quad \frac{x}{2\sqrt{1+x}} \to \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ إذن المشتقة غير معرفة عند $x=-1$ ولكن يمكن دراسة النهاية من اليمين. - التأويل الهندسي: المنحنى يبدأ من النقطة $(-1, f(-1)) = (-1, -1 \cdot 0) = (-1,0)$ ويكون منحنى يقترب من هذه النقطة من جهة اليمين. 4. **حساب النهاية عند $+\infty$ ودراسة الفرع اللا نهائي:** - ندرس: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{1+x}$$ - نكتب: $$f(x) = x \sqrt{x+1} = x \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x \cdot x^{1/2} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x^{3/2} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$$ - عند $x \to +\infty$: $$f(x) \sim x^{3/2}$$ - إذن الدالة تذهب إلى $+\infty$ بسرعة أكبر من أي خط مستقيم. - لا يوجد فرع مائل أو أفقي عند اللانهاية. 5. **إثبات أن مشتقة $f$ هي:** $$f'(x) = 2\sqrt{1+x}$$ - نعيد حساب المشتقة بدقة: $$f(x) = x(1+x)^{1/2}$$ $$f'(x) = (1+x)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}}$$ - نجمع على مقام مشترك: $$f'(x) = \frac{2(1+x) + x}{2\sqrt{1+x}} = \frac{2 + 2x + x}{2\sqrt{1+x}} = \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$$ - لكن المطلوب إثبات أن: $$f'(x) = 2\sqrt{1+x}$$ - هناك خطأ في المعطى أو المطلوب، لأن المشتقة الحقيقية هي: $$f'(x) = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}}$$ - نترك هذا كما هو. 6. **دراسة إشارة $f'(x)$ وجدول التغيرات:** - ندرس إشارة: $$f'(x) = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}} = \frac{2(1+x) + x}{2\sqrt{1+x}} = \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$$ - المقام $2\sqrt{1+x} > 0$ لكل $x > -1$ - إشارة $f'(x)$ تعتمد على البسط $2 + 3x$: - $2 + 3x > 0 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}$ - $2 + 3x = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$ - إذن: - $f'(x) < 0$ إذا كان $x < -\frac{2}{3}$ - $f'(x) = 0$ عند $x = -\frac{2}{3}$ - $f'(x) > 0$ إذا كان $x > -\frac{2}{3}$ - جدول التغيرات: | $x$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | $+\infty$ | |--------------|-------|-----------------|------------| | $f'(x)$ | غير معرف من اليمين | 0 | + | | $f(x)$ | 0 | أدنى قيمة | +\infty | 7. **معادلة مماس المنحنى عند النقطة ذات الإحداثي $x=3$:** - نحسب: $$f(3) = 3 \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6$$ $$f'(3) = \frac{2 + 3 \times 3}{2 \sqrt{4}} = \frac{2 + 9}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$$ - معادلة المماس: $$y = f'(3)(x - 3) + f(3) = \frac{11}{4}(x - 3) + 6$$ 8. **حل المعادلة $x = f(x)$ ونقطة تقاطع المنحنى مع المستقيم $y = x$:** - المعادلة: $$x = x \sqrt{1+x}$$ - إذا كان $x \neq 0$: $$1 = \sqrt{1+x} \Rightarrow 1 = 1+x \Rightarrow x = 0$$ - إذن الحلول: $$x = 0$$ - نقطة التقاطع: $$(0,0)$$ 9. **تحديد الوضع النسبي للمنحنى والمستقيم $y = x$:** - ندرس الفرق: $$f(x) - x = x \sqrt{1+x} - x = x(\sqrt{1+x} - 1)$$ - إذا كان $x > 0$: $$\sqrt{1+x} > 1 \Rightarrow f(x) - x > 0$$ - إذا كان $-1 < x < 0$: $$\sqrt{1+x} < 1 \Rightarrow f(x) - x < 0$$ - إذن: - المنحنى تحت المستقيم في $]-1,0[$ - المنحنى فوق المستقيم في $]0,+\infty[$ 10. **إثبات أن $f([-2/3;0]) \subset [-2/3;0]$:** - ندرس قيم $f$ على هذا المجال: - عند $x = -2/3$: $$f(-2/3) = -\frac{2}{3} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = -\frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{2}{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} \approx -0.385$$ - عند $x=0$: $$f(0) = 0$$ - إذن $f(x)$ في المجال $[-2/3;0]$ تأخذ قيم بين $-0.385$ و $0$، وهي ضمن $[-2/3;0]$ 11. **تعريف الدالة $g$ كقصور لـ $f$ على المجال $]-2/3; +\infty[$ وإثبات وجود دالة عكسية:** - بما أن $f$ متزايدة على هذا المجال (لأن $f'(x) > 0$ عند $x > -2/3$)، فهي دالة أحادية. - إذن $g$ تقبل دالة عكسية $g^{-1}$ معرفة على مجال $L = g(]-2/3; +\infty[)$. 12. **حساب المشتقة الثانية $f''(x)$ ودراسة التقعر:** - نبدأ من: $$f'(x) = \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$$ - نستخدم قاعدة القسمة: $$f''(x) = \frac{(3)(2\sqrt{1+x}) - (2 + 3x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}}}{4(1+x)} = \frac{6\sqrt{1+x} - \frac{2 + 3x}{\sqrt{1+x}}}{4(1+x)}$$ - نجمع على مقام مشترك: $$f''(x) = \frac{6(1+x) - (2 + 3x)}{4(1+x)\sqrt{1+x}} = \frac{6 + 6x - 2 - 3x}{4(1+x)\sqrt{1+x}} = \frac{4 + 3x}{4(1+x)\sqrt{1+x}}$$ - دراسة التقعر: - البسط $4 + 3x$: - موجب إذا $x > -\frac{4}{3}$ (دائماً صحيح لأن $x > -1$) - المقام موجب لأن $x > -1$ - إذن: - $f''(x) > 0$ إذا كان $x > -\frac{4}{3}$ (دائماً) - المنحنى مقعر للأعلى على $]-1, +\infty[$ 13. **تمثيل المنحنى $C_f$ والمنحنى العكسي $C_{f^{-1}}$:** - المنحنى $C_f$ يمثل الدالة $f$. - المنحنى العكسي $C_{f^{-1}}$ هو انعكاس $C_f$ حول المستقيم $y=x$. 14. **دراسة المتتالية $(U_n)$ المعرفة ب:** $$U_0 = -\frac{1}{3}, \quad U_{n+1} = U_n \sqrt{1 + U_n}$$ أ) إثبات أن $\forall n \in \mathbb{N}, -\frac{2}{3} \leq U_n \leq 0$: - بالاستقراء: - $U_0 = -\frac{1}{3} \in [-\frac{2}{3}, 0]$ - نفترض $U_n \in [-\frac{2}{3}, 0]$ - بما أن $1 + U_n \in [1 - \frac{2}{3}, 1] = [\frac{1}{3}, 1]$، الجذر التربيعي معرف وموجب - إذن: $$U_{n+1} = U_n \sqrt{1 + U_n} \leq 0$$ - ونظراً لأن $U_n \geq -\frac{2}{3}$، نحصل على: $$U_{n+1} \geq -\frac{2}{3} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = -\frac{2}{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} > -\frac{2}{3}$$ - إذن $U_{n+1} \in [-\frac{2}{3}, 0]$ ب) إثبات أن $(U_n)$ متتالية تزايدية: - ندرس الفرق: $$U_{n+1} - U_n = U_n (\sqrt{1 + U_n} - 1)$$ - لأن $U_n \leq 0$ و $\sqrt{1 + U_n} - 1 \leq 0$، حاصل الضرب موجب أو صفر - إذن المتتالية تزايدية ج) إثبات أن $(U_n)$ متقاربة: - المتتالية محصورة ومتزايدة، إذن متقاربة د) حساب النهاية: - إذا كانت النهاية $l$ موجودة، فإن: $$l = l \sqrt{1 + l}$$ - إذا $l \neq 0$: $$1 = \sqrt{1 + l} \Rightarrow 1 = 1 + l \Rightarrow l = 0$$ - إذن: $$\lim_{n \to +\infty} U_n = 0$$ **الملخص:** - $D_f = [-1, +\infty[$ - $f$ قابلة للاشتقاق على $]-1, +\infty[$ - $f'(x) = \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$ - $f'(x)$ تغير إشارته عند $x = -\frac{2}{3}$ - المماس عند $x=3$ معادلته: $y = \frac{11}{4}(x-3) + 6$ - نقطة تقاطع $f$ مع $y=x$ هي $(0,0)$ - $f$ تحت $y=x$ في $]-1,0[$ وفوقها في $]0,+\infty[$ - $f''(x) = \frac{4 + 3x}{4(1+x)\sqrt{1+x}}$ والمنحنى مقعر للأعلى - المتتالية $(U_n)$ محصورة، متزايدة، ومتقاربة إلى 0