1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة العددية $f$ المعرفة على مجال $D_f$ ونريد دراسة خصائصها المختلفة. 2. **تحديد مجال التعريف $D_f$:** - بما أن الدالة تحتوي على جذر تربيعي من $x+1$، يجب أن يكون $x+1 \geq 0$. - إذن، $D_f = [-1, +\infty[$. 3. **دراسة قابلية الاشتقاق عند $x=-1$ من اليمين:** - نستخدم تعريف المشتقة من اليمين عند $x=-1$. - نطبق التابريا الهندسي: $$f'(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ - نحسب النهاية ونبرهن وجودها. 4. **حساب النهاية عند $x \to +\infty$:** - ندرس $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. - نستخدم قواعد النهايات ونبسط التعبير. 5. **دراسة الفرع اللانهاي بجوار $+\infty$:** - نبحث عن وجود فرع مماس أو منحنى مائل. - نستخدم النهاية: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$$ - ونحسب الفرق بين $f(x)$ والمنحنى المائل. 6. **إثبات صيغة المشتقة:** - نثبت أن: $$f'(x) = \frac{4x+3}{2\sqrt{x+1}(2\sqrt{x+1}+1)^2} \quad \forall x \in ]-1, +\infty[$$ - نستخدم قواعد الاشتقاق (قاعدة السلسلة، قاعدة القسمة). 7. **دراسة إشارة $f'(x)$ وجدول التفرقات:** - نحلّل إشارة البسط والمقام. - نحدد نقاط الصفر ونفحص تغير الإشارة. - نرسم جدول التزايد والتناقص. 8. **تحديد معادلة المماس عند النقطة ذات الأصل 3:** - نحسب $f(3)$ و $f'(3)$. - معادلة المماس: $$y = f'(3)(x-3) + f(3)$$ 9. **حل المعادلة $x = f(x)$:** - نبحث عن نقاط تقاطع المنحنى $C_f$ مع المستقيم $D: y=x$. - نحل المعادلة $f(x) - x = 0$. 10. **دراسة الوضع النسبي بين $C_f$ و $D$:** - ندرس إشارة $f(x)-x$. - نحدد أين يكون المنحنى فوق أو تحت المستقيم. 11. **إثبات أن $f$ تقبل دالة عكسية على المجال $]-3/4, +\infty[$:** - نثبت أن $f$ متزايدة أو متناقصة على هذا المجال. - نستخدم نظرية الدالة العكسية. 12. **تحديد مجال تعريف الدالة العكسية $f^{-1}$:** - مجال $f^{-1}$ هو صورة $f$ على المجال المذكور. 13. **حساب مشتقة الدالة العكسية عند 3:** - نستخدم العلاقة: $$ (f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(f^{-1}(3))} = \frac{1}{f'(3)} $$ 14. **إثبات أن $f([0,3]) \subset [0,3]$:** - ندرس قيم $f(x)$ على الفترة $[0,3]$. - نثبت أن القيم تقع ضمن $[0,3]$. 15. **تمثيل $C_f$ و $C_{f^{-1}}$ في نفس المعلم:** - نرسم المنحنيين مع المحاور. 16. **دراسة المتتالية $(U_n)$ المعرفة ب:** $$U_0=0$$ $$U_{n+1} = U_n + 2 - \sqrt{U_n + 1}$$ (أ) إثبات أن $0 \leq U_n \leq 3$: - نستخدم البرهان بالتراجع. (ب) إثبات أن $(U_n)$ متتالية تراددية: - ندرس الفرق $U_{n+1} - U_n$. (ج) استنتاج تقارب $(U_n)$ وتحديد النهاية: - نستخدم خاصية التقارب للمتتاليات التراددية. - نحل المعادلة الحدية: $$l = l + 2 - \sqrt{l + 1} \Rightarrow \sqrt{l + 1} = 2 \Rightarrow l + 1 = 4 \Rightarrow l = 3$$ 17. **تمرين 2: تحديد الدوال الأصلية:** (1) $f(x) = x + 2 - \sqrt{x + 1}$ - نستخدم قواعد التكامل: $$F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$$ (2) $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$ - نستخدم التعويض المناسب ونحسب التكامل.