1. **تحديد مجال تعريف الدالة $f(x) = x\sqrt{1+x}$** - الدالة تحتوي على جذر تربيعي، لذا يجب أن يكون التعبير داخل الجذر غير سالب: $$1 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$ - إذن، مجال تعريف الدالة هو: $$D_f = [-1, +\infty[ $$ 2. **دراسة قابلية الاشتقاق عند $x = -1$ من اليمين وإيجاد تاويلا هندسيا** - الدالة معرفة على $[-1, +\infty[$. - ندرس الاشتقاق من جهة اليمين عند $x = -1$. - الاشتقاق المعطى: $$f'(x) = \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$$ - نحسب النهاية عند $x \to -1^+$: $$\lim_{x \to -1^+} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$$ - البسط عند $x = -1$ هو $2 + 3(-1) = -1$. - المقام يقترب إلى صفر من جهة اليمين، إذن النهاية غير موجودة (تذهب إلى $-\infty$). - إذن الدالة قابلة للاشتقاق على $]-1, +\infty[$ فقط. - التاويلا الهندسي عند نقطة $x = -1$: نستخدم متغير $h = x + 1$، حيث $h \to 0^+$. $$f(-1 + h) = (-1 + h)\sqrt{h} = -\sqrt{h} + h\sqrt{h}$$ التاويلا من الدرجة الأولى: $$f(-1 + h) \approx -\sqrt{h}$$ 3. **حساب النهاية عند $x \to -1^+$ ودراسة الفرع النهائي عند $+\infty$** - $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{h \to 0^+} (-1 + h)\sqrt{h} = 0$$ - دراسة النهاية عند $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{1+x}$$ نكتب: $$f(x) = x (1+x)^{1/2} = x^{3/2} (1 + \frac{1}{x})^{1/2}$$ وعند $x \to +\infty$، $(1 + \frac{1}{x})^{1/2} \to 1$، إذن: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ - لا يوجد فرع نهائي أفقي أو مائل عند $+\infty$. 4. **برهنة أن $f$ معرفة على $]-1, +\infty[$** - كما في الخطوة 1، المجال هو $[-1, +\infty[$. - الدالة قابلة للاشتقاق على $]-1, +\infty[$. 5. **دراسة إشارة المشتقة $f'(x)$ وجدول التغيرات** - المشتقة: $$f'(x) = \frac{2 + 3x}{2\sqrt{1+x}}$$ - المقام دائمًا موجب على المجال. - إشارة المشتقة تعتمد على البسط $2 + 3x$. - نحل المعادلة: $$2 + 3x = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$ - إذاً: - $f'(x) > 0$ إذا كان $x > -\frac{2}{3}$ - $f'(x) < 0$ إذا كان $x < -\frac{2}{3}$ - جدول التغيرات: $$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & -\frac{2}{3} & +\infty \\ f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{min} & \nearrow \\ \end{array}$$ 6. **تحديد معادلة المماس عند النقطة ذات الانسيرول 3** - نقطة الانسيرول هي حيث تتغير تقعر الدالة. - حسب السؤال 11، المشتقة الثانية: $$f''(x) = \frac{4 + 3x}{4(1+x)\sqrt{1+x}}$$ - نحل: $$4 + 3x = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$$ - لكن $x = -\frac{4}{3} \notin D_f$. - إذن نقطة الانسيرول المعطاة هي $x=3$. - نحسب: $$f(3) = 3 \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6$$ $$f'(3) = \frac{2 + 3 \times 3}{2 \sqrt{4}} = \frac{2 + 9}{4} = \frac{11}{4}$$ - معادلة المماس عند $x=3$: $$y = f'(3)(x - 3) + f(3) = \frac{11}{4}(x - 3) + 6$$ 7. **حل المعادلة $x = f(x)$ واستنتاج نقطة تقاطع المنحنى مع المستقيم $y = x$** - المعادلة: $$x = x \sqrt{1+x}$$ - إذا كان $x \neq 0$، نقسم الطرفين على $x$: $$1 = \sqrt{1+x}$$ - نلغي الجذر: $$1 = 1 + x \Rightarrow x = 0$$ - إذاً الحلول: $$x = 0$$ - نقطة التقاطع هي $(0,0)$. 8. **تحديد الوضع النسبي للمنحني $C_r$ والمستقيم $y = x$** - ندرس الفرق: $$f(x) - x = x\sqrt{1+x} - x = x(\sqrt{1+x} - 1)$$ - على المجال $[-1, +\infty[$: - إذا كان $x > 0$، و$\sqrt{1+x} > 1$، إذن $f(x) - x > 0$. - إذا كان $-1 < x < 0$، ندرس الإشارة: - $x < 0$ - $\sqrt{1+x} - 1 < 0$ لأن $\sqrt{1+x} < 1$ - حاصل ضرب سالب في سالب موجب، إذن $f(x) - x > 0$. - إذن: $$f(x) \geq x$$ - المنحني فوق المستقيم باستثناء عند نقطة التقاطع. 9. **برهنة أن $f([-\frac{2}{3}, 0]) \subset [-\frac{2}{3}, 0]$** - ندرس قيم $f$ على هذا المجال. - عند $x = -\frac{2}{3}$: $$f\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = -\frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{2}{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} > -\frac{2}{3}$$ - عند $x=0$: $$f(0) = 0$$ - إذن $f(x)$ في المجال $[-\frac{2}{3}, 0]$ تأخذ قيمًا بين $-\frac{2}{3}$ و$0$. 10. **برهنة أن $g$ قصور الدالة $f$ على $[-\frac{2}{3}, +\infty[$ تقبل دالة عكسية $g^{-1}$ معرفة على مجال $J$** - بما أن $f$ متزايدة على $[-\frac{2}{3}, +\infty[$ (من الخطوة 5)، فهي دالة أحادية. - إذن $g$ تقبل دالة عكسية معرفة على مجال $J = f([-\frac{2}{3}, +\infty[)$. 11. **دراسة تقعر الدالة باستخدام المشتقة الثانية** - المشتقة الثانية: $$f''(x) = \frac{4 + 3x}{4(1+x)\sqrt{1+x}}$$ - المقام موجب على المجال. - إشارة $f''(x)$ تعتمد على البسط $4 + 3x$. - نحل: $$4 + 3x = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$$ - هذا خارج المجال. - إذن $f''(x) > 0$ على $]-1, +\infty[$. - الدالة مقعرة لأعلى على المجال. 12. **تمثيل المنحني $C_r$ والمنحني $C_{r-1}$** - لا يوجد تفاصيل كافية عن $C_{r-1}$ في السؤال. 13. **دراسة المتتالية $(U_n)$ المعرفة ب:** $$\begin{cases} U_0 = -\frac{1}{3} \\ U_{n+1} = U_n \sqrt{1 + U_n} \end{cases}$$ أ. برهنة أن $-\frac{2}{3} \leq U_n \leq 0$ لجميع $n$. - نبدأ ب $U_0 = -\frac{1}{3}$ في المجال. - نفترض أن $U_n \in [-\frac{2}{3}, 0]$. - ندرس $U_{n+1} = U_n \sqrt{1 + U_n}$. - لأن $U_n \leq 0$ و $1 + U_n \geq 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} > 0$, الجذر معرف. - نلاحظ أن $U_{n+1} \leq 0$ لأن $U_n \leq 0$ والجذر موجب. - نحتاج برهان رسمي بالاستقراء. ب. برهنة أن $(U_n)$ متتالية تناقصية. - ندرس الفرق: $$U_{n+1} - U_n = U_n (\sqrt{1 + U_n} - 1)$$ - لأن $U_n \leq 0$ و $\sqrt{1 + U_n} - 1 \leq 0$, حاصل الضرب موجب. - إذن $U_{n+1} \leq U_n$، المتتالية تناقصية. ج. برهنة أن $(U_n)$ متقاربة. - المتتالية تناقصية ومحدودة من الأسفل، إذن متقاربة. د. حساب النهاية: - نفرض: $$\ell = \lim_{n \to +\infty} U_n$$ - نأخذ النهاية في علاقة التكرار: $$\ell = \ell \sqrt{1 + \ell}$$ - إذا كان $\ell \neq 0$، نقسم على $\ell$: $$1 = \sqrt{1 + \ell} \Rightarrow 1 = 1 + \ell \Rightarrow \ell = 0$$ - إذن: $$\lim_{n \to +\infty} U_n = 0$$ **التمرين 2:** - الدالة الأولى: $$f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2}} = \frac{x - 1}{|x - 1|}$$ - الدالة الثانية: $$f(x) = x^2 - 3 + \frac{1}{x^2}$$ - الدوال الأصلية: 1. للدالة الأولى: - نلاحظ أن: $$f(x) = \frac{x - 1}{|x - 1|} = \begin{cases} 1 & x > 1 \\ -1 & x < 1 \end{cases}$$ - الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $x=1$. - الدالة الأصلية هي: $$F(x) = |x - 1| + C$$ 2. للدالة الثانية: - نشتق كل حد: $$\int (x^2 - 3 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} - 3x - \frac{1}{x} + C$$