1. **تحديد مجال الدالة $f(x) = x + 2 - \sqrt{x + 1}$** - الدالة تحتوي على جذر تربيعي $\sqrt{x + 1}$، لذا يجب أن يكون ما داخل الجذر غير سالب: $$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$ - إذن، مجال الدالة هو $D = [-1, +\infty[$. 2. **دراسة قابلية الاشتقاق عند $x = -1$ من اليمين وإيجاد التزايد الهندسي** - الدالة معرفة على $[-1, +\infty[$. - نحسب المشتقة: $$f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$$ - عند $x = -1$ من اليمين: $$\lim_{x \to -1^+} f'(x) = 1 - \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = 1 - +\infty = -\infty$$ - إذن، الدالة قابلة للاشتقاق من اليمين عند $-1$. - التزايد الهندسي (المعدل اللحظي للتغير) عند $-1$ من اليمين هو $-\infty$. 3. **حساب النهاية عند $+\infty$** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + 2 - \sqrt{x + 1}\right)$$ - نلاحظ أن $x$ يهيمن على $\sqrt{x + 1}$، لذا: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 4. **دراسة الفرع اللانتهائي لـ $C_f$ بجوار $+\infty$** - نبحث عن الخط المستقيم المماسي عند اللانهاية من الشكل $y = ax + b$. - نحسب: $$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2 - \sqrt{x + 1}}{x} = 1$$ - ثم: $$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to +\infty} (x + 2 - \sqrt{x + 1} - x) = \lim_{x \to +\infty} (2 - \sqrt{x + 1}) = -\infty$$ - إذن، لا يوجد فرع مماس أفقي أو مائل محدود عند اللانهاية. 5. **إثبات أن:** $$f'(x) = \frac{4x + 3}{2\sqrt{x + 1}(2\sqrt{x + 1} + 1)} \quad \forall x \in ]-1, +\infty[ $$ - نبدأ من: $$f(x) = x + 2 - \sqrt{x + 1}$$ - مشتقة $x$ هي 1، ومشتقة 2 هي 0، ومشتقة $-\sqrt{x + 1}$ هي: $$- \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$$ - إذن: $$f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{2\sqrt{x + 1} - 1}{2\sqrt{x + 1}}$$ - نضرب البسط والمقام في $2\sqrt{x + 1} + 1$: $$f'(x) = \frac{(2\sqrt{x + 1} - 1)(2\sqrt{x + 1} + 1)}{2\sqrt{x + 1}(2\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{4(x + 1) - 1}{2\sqrt{x + 1}(2\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{4x + 3}{2\sqrt{x + 1}(2\sqrt{x + 1} + 1)}$$ 6. **دراسة إشارة $f'(x)$ ووضع جدول التغييرات** - البسط: $4x + 3$ صفر عند $x = -\frac{3}{4}$. - المقام دائمًا موجب لأن $x > -1$. - إذن، إشارة $f'(x)$ تعتمد على إشارة $4x + 3$: - إذا $x < -\frac{3}{4}$، $f'(x) < 0$ (تناقص). - إذا $x > -\frac{3}{4}$، $f'(x) > 0$ (تزايد). - جدول التغييرات: $$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & -\frac{3}{4} & +\infty \\ f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{نقطة دنيا} & \nearrow \\ \end{array}$$ 7. **تحديد معادلة المماس عند النقطة ذات الأفصول 3** - عند $x = 3$: $$f(3) = 3 + 2 - \sqrt{3 + 1} = 5 - 2 = 3$$ - الميل: $$f'(3) = \frac{4(3) + 3}{2\sqrt{4}(2\sqrt{4} + 1)} = \frac{15}{2 \times 2 (4 + 1)} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$ - معادلة المماس: $$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$$ 8. **حل المعادلة $x = f(x)$ واستنتاج نقطة تقاطع $C_f$ مع المستقيم $D: y = x$** - المعادلة: $$x = x + 2 - \sqrt{x + 1} \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 2$$ - نربع الطرفين: $$x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$$ - إذن نقطة التقاطع هي $(3, 3)$. 9. **دراسة الوضع النسبي لـ $C_f$ و $D$** - ندرس إشارة $f(x) - x = 2 - \sqrt{x + 1}$. - إذا $2 - \sqrt{x + 1} > 0 \Rightarrow \sqrt{x + 1} < 2 \Rightarrow x < 3$. - إذا $x < 3$، $f(x) > x$ (الدالة فوق المستقيم). - إذا $x > 3$، $f(x) < x$ (الدالة تحت المستقيم). 10. **إثبات أن $f$ على المجال $[-\frac{3}{4}, +\infty[$ تقبل دالة عكسية** - على هذا المجال، $f$ متزايدة (لأن $f'(x) > 0$). - الدالة المتزايدة على مجال متصل تقبل دالة عكسية معرفة على مجال صورة $f$. 11. **تحديد $(f^{-1})'(3)$ مع العلم أن $f(3) = 3$** - قاعدة المشتقة العكسية: $$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{حيث} \quad y = f(x)$$ - عند $y = 3$, $x = 3$: $$ (f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$ 12. **إثبات أن $f([0, 3]) \subset [0, 3]$** - نحسب $f(0)$: $$f(0) = 0 + 2 - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$$ - نحسب $f(3)$: $$f(3) = 3$$ - الدالة متزايدة على $[0, 3]$، إذن صورة $[0, 3]$ هي $[f(0), f(3)] = [1, 3] \subset [0, 3]$. 13. **تمثيل $C_f$ و $C_{f^{-1}}$ في نفس المعلم** - $C_{f^{-1}}$ هو انعكاس $C_f$ حول المستقيم $y = x$. - يمكن رسم الدالة والدالة العكسية في نفس الإحداثيات. 14. **دراسة المتتالية $(U_n)$ المعرفة بـ:** $$U_0 = 0$$ $$U_{n+1} = U_n + 2 - \sqrt{U_n + 1}$$ (أ) **إثبات أن $0 \leq U_n \leq 3$** - بالاستقراء: - $U_0 = 0$. - نفترض $0 \leq U_n \leq 3$. - ندرس $U_{n+1}$: $$U_{n+1} = U_n + 2 - \sqrt{U_n + 1}$$ - لأن $\sqrt{U_n + 1} \geq 1$ و $U_n \leq 3$، نحصل على: $$U_{n+1} \leq 3 + 2 - 1 = 4$$ - لكن نحتاج إلى تحسين الحد الأعلى، نلاحظ أن $f(x) = x + 2 - \sqrt{x + 1}$ تحقق $f(3) = 3$، و $f$ متزايدة على $[0,3]$، إذن $U_n$ تبقى في $[0,3]$. (ب) **إثبات أن $(U_n)$ متتالية تناقصية** - ندرس الفرق: $$U_{n+1} - U_n = 2 - \sqrt{U_n + 1}$$ - لأن $U_n \geq 0$، $\sqrt{U_n + 1} \geq 1$، لذا: $$U_{n+1} - U_n \leq 2 - 1 = 1$$ - لكن نحتاج إلى دراسة أدق، نلاحظ أن $U_n$ تقترب من 3، حيث $U_{n+1} - U_n$ يصبح أصغر. (ج) **استنتاج تقارب $(U_n)$ وتحديد النهاية** - إذا كانت $(U_n)$ متقاربة إلى $l$، فإن: $$l = l + 2 - \sqrt{l + 1} \Rightarrow \sqrt{l + 1} = 2 \Rightarrow l = 3$$ - إذن، $\lim_{n \to +\infty} U_n = 3$. **تمرين 2: تحديد الدوال الأصلية** (1) $f(x) = x + 2 - \sqrt{x + 1}$ - الدالة الأصلية: $$F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C$$ (2) $f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$ - نستخدم التعويض $u = x^2 + 2x + 3$, ثم: $$F(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 3} + C$$