1. **س 1/ أوجد مشتقة الدوال التالية:** 1/ الدالة: $y=4x^4 - \frac{1}{2}x^2 + x$ - نستخدم قاعدة الاشتقاق للدوال كثيرة الحدود: $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ - مشتقة $4x^4$ هي $4 \times 4x^{3} = 16x^3$ - مشتقة $-\frac{1}{2}x^2$ هي $-\frac{1}{2} \times 2x = -x$ - مشتقة $x$ هي 1 - إذن، المشتقة: $$y' = 16x^3 - x + 1$$ 2/ الدالة: $y=5(10x^3 + 2)$ - نوزع 5: $y=50x^3 + 10$ - مشتقة $50x^3$ هي $50 \times 3x^{2} = 150x^2$ - مشتقة 10 هي 0 - إذن، المشتقة: $$y' = 150x^2$$ 3/ الدالة: $xy = x^2 + 2y$ - هذه دالة ضمنية، نشتق الطرفين بالنسبة إلى $x$ مع اعتبار $y$ دالة في $x$ - مشتقة $xy$ باستخدام قاعدة الضرب: $y + x \frac{dy}{dx}$ - مشتقة $x^2$ هي $2x$ - مشتقة $2y$ هي $2 \frac{dy}{dx}$ - إذن: $$y + x \frac{dy}{dx} = 2x + 2 \frac{dy}{dx}$$ - نجمع الحدود التي تحتوي على $\frac{dy}{dx}$ في جهة: $$x \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx} = 2x - y$$ - نأخذ $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك: $$\frac{dy}{dx}(x - 2) = 2x - y$$ - إذن: $$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2}$$ 4/ الدالة: $y = (3 + x^2)^5$ - نستخدم قاعدة السلسلة: - مشتقة الداخل $3 + x^2$ هي $2x$ - مشتقة الخارج $u^5$ هي $5u^4$ - إذن: $$y' = 5(3 + x^2)^4 \times 2x = 10x(3 + x^2)^4$$ 2. **س 2/** 1/ ضع المعادلة في صورة $y = f(x)$: المعادلة: $x^3 - y = 10 + 2xy$ - ننقل $y$ إلى جهة واحدة: $$x^3 - 10 = y + 2xy = y(1 + 2x)$$ - إذن: $$y = \frac{x^3 - 10}{1 + 2x}$$ 2/ بين نوع الدالة (زوجية أو فردية): 1/ $f(x) = \frac{x^3 - x}{5 - x^2}$ - نختبر $f(-x)$: $$f(-x) = \frac{(-x)^3 - (-x)}{5 - (-x)^2} = \frac{-x^3 + x}{5 - x^2} = - \frac{x^3 - x}{5 - x^2} = -f(x)$$ - إذن الدالة فردية. 2/ $f(x) = \cos^2 x + \sin x$ - نختبر $f(-x)$: $$f(-x) = \cos^2(-x) + \sin(-x) = \cos^2 x - \sin x$$ - ليست مساوية لـ $f(x)$ ولا لـ $-f(x)$، إذن الدالة ليست زوجية ولا فردية. 3/ $f_2(x) = 2x^2 + 1$ - نختبر $f_2(-x)$: $$f_2(-x) = 2(-x)^2 + 1 = 2x^2 + 1 = f_2(x)$$ - إذن الدالة زوجية. 3. **س 3/** إذا كانت $f(x) = 3x^3 - 5$ 1/ أوجد نطاق $f(x) < \frac{1}{2} f(x)$ - المعادلة: $$3x^3 - 5 < \frac{1}{2}(3x^3 - 5)$$ - نضرب الطرفين في 2: $$2(3x^3 - 5) < 3x^3 - 5$$ $$6x^3 - 10 < 3x^3 - 5$$ - ننقل الحدود: $$6x^3 - 10 - 3x^3 + 5 < 0$$ $$3x^3 - 5 < 0$$ - إذن: $$3x^3 < 5 \Rightarrow x^3 < \frac{5}{3} \Rightarrow x < \sqrt[3]{\frac{5}{3}}$$ 2/ أوجد $f(f^2(x))$ - أولاً نحسب $f^2(x) = f(f(x))$ - $f(x) = 3x^3 - 5$ - إذن: $$f^2(x) = f(f(x)) = f(3x^3 - 5) = 3(3x^3 - 5)^3 - 5$$ - ثم: $$f(f^2(x)) = f\big(3(3x^3 - 5)^3 - 5\big) = 3\left[3(3x^3 - 5)^3 - 5\right]^3 - 5$$ 3/ أوجد $f^2(f(15))$ - نحسب أولاً $f(15)$: $$f(15) = 3(15)^3 - 5 = 3(3375) - 5 = 10125 - 5 = 10120$$ - ثم $f^2(f(15)) = f^2(10120) = f(f(10120))$ - نحسب $f(10120)$: $$f(10120) = 3(10120)^3 - 5$$ - ثم: $$f^2(f(15)) = f(f(10120)) = 3\left(3(10120)^3 - 5\right)^3 - 5$$ - هذا تعبير جبري كبير جداً، يمكن تركه هكذا أو حسابه باستخدام آلة حاسبة متقدمة. **الجواب النهائي:** 1/ مشتقات الدوال: $$y' = 16x^3 - x + 1$$ $$y' = 150x^2$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2}$$ $$y' = 10x(3 + x^2)^4$$ 2/ $$y = \frac{x^3 - 10}{1 + 2x}$$ الدالة الأولى فردية، الثانية ليست زوجية ولا فردية، الثالثة زوجية. 3/ $$x < \sqrt[3]{\frac{5}{3}}$$ $$f(f^2(x)) = 3\left[3(3x^3 - 5)^3 - 5\right]^3 - 5$$ $$f^2(f(15)) = 3\left(3(10120)^3 - 5\right)^3 - 5$$