1. مسئله: حل معادله $x+1 = 2 \sqrt{2x - 1}$ و تعیین قابل قبول بودن جواب‌ها. 2. فرمول و قوانین مهم: برای حل معادله شامل رادیکال، ابتدا طرفین را به توان 2 می‌رسانیم تا رادیکال حذف شود، سپس جواب‌ها را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم تا جواب‌های نامعتبر (که باعث منفی شدن زیر رادیکال یا عدم برابری می‌شوند) حذف شوند. 3. حل معادله: $$x + 1 = 2 \sqrt{2x - 1}$$ به توان 2 رساندن هر دو طرف: $$ (x + 1)^2 = 4(2x - 1) $$ گسترش سمت چپ: $$ x^2 + 2x + 1 = 8x - 4 $$ انتقال همه جملات به یک طرف: $$ x^2 + 2x + 1 - 8x + 4 = 0 $$ $$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$ حل معادله درجه دوم با فرمول کلی: $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 1 \times 5}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} $$ $$ x = \frac{6 \pm 4}{2} $$ دو جواب: $$ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 $$ 4. بررسی قابل قبول بودن جواب‌ها: جایگذاری $x=5$ در معادله اصلی: $$ 5 + 1 = 6 $$ $$ 2 \sqrt{2 \times 5 - 1} = 2 \sqrt{10 - 1} = 2 \sqrt{9} = 6 $$ پس $x=5$ قابل قبول است. جایگذاری $x=1$: $$ 1 + 1 = 2 $$ $$ 2 \sqrt{2 \times 1 - 1} = 2 \sqrt{2 - 1} = 2 \sqrt{1} = 2 $$ پس $x=1$ نیز قابل قبول است. 5. مسئله دوم: اثبات اگر در مثلث $ABC$ نقاط $D$ و $E$ روی اضلاع $AB$ و $AC$ به گونه‌ای باشند که $$ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $$ آنگاه خط $DE$ موازی $BC$ است. 6. اثبات: طبق قضیه تناسبی (قضیه تالس)، اگر خطی در مثلث موازی یکی از اضلاع باشد، نسبت تقسیم اضلاع دیگر برابر است. اینجا برعکس قضیه تالس را داریم: اگر نسبت تقسیم اضلاع برابر باشد، خط مقابل موازی ضلع سوم است. بنابراین از شرط داده شده نتیجه می‌گیریم که: $$ DE \parallel BC $$ که اثبات خواسته شده است.