1. مسئله: تعیین وارون‌پذیری هر کدام از توابع داده شده و نوشتن ضابطه تابع وارون در صورت وجود. 2. تابع اول: $f(x) = (x + د)^2, x \geq -د$ - این تابع یک سهمی است که دامنه آن محدود به $x \geq -د$ است. - چون دامنه محدود به نیمه‌ای است که تابع در آن تک‌ریخت (یک‌به‌یک) است، تابع وارون‌پذیر است. - برای یافتن وارون، ابتدا $y = (x + د)^2$ را حل می‌کنیم: $$y = (x + د)^2$$ $$\sqrt{y} = |x + د|$$ چون $x \geq -د$، پس $x + د \geq 0$ و می‌توانیم علامت قدر مطلق را حذف کنیم: $$\sqrt{y} = x + د$$ $$x = \sqrt{y} - د$$ - بنابراین ضابطه تابع وارون: $$f^{-1}(y) = \sqrt{y} - د, y \geq 0$$ 3. تابع دوم: $f(x) = -|x - 1| + 1, x \geq 2$ - تابع قدر مطلق به صورت $-|x-1|+1$ است که نزولی است. - دامنه $x \geq 2$ است، پس $x-1 \geq 1$ و $|x-1| = x-1$. - تابع به صورت: $$f(x) = -(x-1) + 1 = -x + 2$$ - این تابع خطی و نزولی است و در دامنه داده شده یک‌به‌یک است. - برای وارون: $$y = -x + 2$$ $$x = 2 - y$$ - دامنه $x \geq 2$ معادل $y \leq 0$ است (چون تابع نزولی است). - ضابطه وارون: $$f^{-1}(y) = 2 - y, y \leq 0$$ 4. تابع سوم: $f(x) = (x - ٣)^2$ - دامنه مشخص نشده، پس دامنه کل اعداد حقیقی است. - تابع سهمی است و روی کل دامنه یک‌به‌یک نیست (چون تقارن دارد). - بنابراین این تابع وارون‌پذیر نیست مگر دامنه محدود شود. 5. تابع چهارم: $f(x) = \sqrt{x + ٢ - ٣} = \sqrt{x - 1}$ - دامنه: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ - تابع رادیکالی است و در دامنه داده شده افزایشی و یک‌به‌یک است. - برای وارون: $$y = \sqrt{x - 1}$$ $$y^2 = x - 1$$ $$x = y^2 + 1$$ - دامنه $x \geq 1$ معادل $y \geq 0$ است. - ضابطه وارون: $$f^{-1}(y) = y^2 + 1, y \geq 0$$ نتیجه نهایی: - تابع اول وارون‌پذیر با ضابطه $f^{-1}(y) = \sqrt{y} - د$ - تابع دوم وارون‌پذیر با ضابطه $f^{-1}(y) = 2 - y$ - تابع سوم وارون‌پذیر نیست. - تابع چهارم وارون‌پذیر با ضابطه $f^{-1}(y) = y^2 + 1$