1. مسئله: بررسی پایداری و علی بودن سیستم‌های داده شده با توابع $h[n]$. 2. تعریف‌ها: - سیستم پایدار است اگر پاسخ ضربه آن $h[n]$ مجموع مطلقی داشته باشد یعنی $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty$$. - سیستم علی است اگر خروجی در زمان $n$ فقط به ورودی‌های زمان‌های $\leq n$ بستگی داشته باشد. 3. بررسی هر سیستم: (الف) $h[n] = \left(\frac{1}{5}\right)^n u[n]$ - چون $u[n]$ تابع واحد پله است و $\left|\frac{1}{5}\right| < 1$، سری هندسی مطلق همگراست. - پس سیستم پایدار است. - چون $h[n]$ برای $n<0$ صفر است، سیستم علی است. (ب) $h[n] = \left(\frac{0}{8}\right)^n u[n+2] = 0^n u[n+2]$ - $0^n$ برای $n>0$ صفر است و $u[n+2]$ شیفت شده است. - پاسخ ضربه تقریباً صفر است، پس پایدار است. - چون $u[n+2]$ برای $n \geq -2$ فعال است، سیستم علی است چون خروجی به ورودی‌های آینده بستگی ندارد. (ج) $h[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[-n]$ - $u[-n]$ برابر 1 برای $n \leq 0$ است. - سری مطلق $$\sum_{n=-\infty}^0 \left|\left(\frac{1}{2}\right)^n\right| = \sum_{n=-\infty}^0 2^{-n} = \sum_{m=0}^\infty 2^m$$ که واگرا است. - پس سیستم ناپایدار است. - علی نیست چون پاسخ ضربه برای $n<0$ غیر صفر است و به ورودی‌های آینده وابسته است. (د) $h[n] = 5^n u[3-n]$ - $u[3-n]$ برابر 1 برای $n \leq 3$ است. - سری مطلق $$\sum_{n=-\infty}^3 |5^n|$$ واگرا است چون $5^n$ برای $n \to -\infty$ به صفر می‌رود اما برای $n$ نزدیک به 3 مقدار بزرگی دارد. - سیستم ناپایدار است. - علی است چون $h[n]$ برای $n>3$ صفر است و خروجی به ورودی‌های آینده بستگی ندارد. (ه) $h[n] = \left(-\frac{1}{2}\right)^n u[n] + \left(\frac{1}{0}\right)^n [n-1]$ - عبارت $\left(\frac{1}{0}\right)^n$ تعریف نشده است (بی‌نهایت)، پس سیستم تعریف نشده و نمی‌توان پایداری یا علی بودن را بررسی کرد. (و) $h[n] = \left(-\frac{1}{2}\right)^n u[n] + \left(\frac{1}{0}\right)^n u[1-n]$ - مشابه (ه) به دلیل وجود $\frac{1}{0}$ سیستم تعریف نشده است. (خ) $h[n] = n \left(\frac{1}{3}\right)^n [n-1]$ - فرض می‌کنیم $[n-1]$ همان $u[n-1]$ است. - سری مطلق $$\sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ همگرا است چون سری هندسی با ضریب کمتر از 1 و ضریب خطی $n$ همگراست. - سیستم پایدار است. - علی است چون $h[n]$ برای $n<1$ صفر است و خروجی به ورودی‌های آینده بستگی ندارد. 4. جمع‌بندی: - سیستم‌های (الف)، (ب)، (خ) پایدار و علی هستند. - سیستم (ج) ناپایدار و غیرعلی است. - سیستم (د) ناپایدار ولی علی است. - سیستم‌های (ه) و (و) تعریف نشده‌اند و نمی‌توان بررسی کرد.