1. مسئله: بررسی پایداری و علی بودن سیستم‌های زیر: سیستم اول: $$y(t) = \int_{-x}^{2t} x(\tau) d\tau$$ سیستم دوم: $$y[n] = n x[n-2]$$ 2. تعریف‌ها: - سیستم پایدار است اگر برای هر ورودی محدود، خروجی نیز محدود باشد (پایداری BIBO). - سیستم علی است اگر خروجی در زمان $$t_0$$ فقط به ورودی‌های زمان‌های $$\leq t_0$$ بستگی داشته باشد. 3. بررسی سیستم اول: - ورودی $$x(\tau)$$ در بازه $$[-x, 2t]$$ انتگرال گرفته شده است. - چون حد پایین انتگرال $$-x$$ وابسته به $$x$$ است که ورودی است، این سیستم غیرخطی و غیرعلی است. - همچنین، چون حد انتگرال وابسته به ورودی است، نمی‌توان تضمین کرد که خروجی برای ورودی محدود، محدود باشد؛ پس سیستم پایدار نیست. 4. بررسی سیستم دوم: - خروجی $$y[n] = n x[n-2]$$ است. - خروجی در زمان $$n$$ فقط به ورودی $$x$$ در زمان $$n-2$$ بستگی دارد، پس سیستم علی است. - اما ضریب $$n$$ می‌تواند به طور نامحدود بزرگ شود، حتی اگر $$x[n-2]$$ محدود باشد، خروجی ممکن است نامحدود شود. - بنابراین سیستم پایدار نیست. نتیجه: - سیستم اول: غیرعلی و ناپایدار - سیستم دوم: علی ولی ناپایدار