1. مسئله: یک گلوله بدون سرعت اولیه از بالاترین نقطه یک نیمکره بدون اصطکاک رها می‌شود. باید ارتفاعی را که گلوله سطح نیمکره را ترک می‌کند، برحسب متر پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون بقای انرژی مکانیکی: $$E_{کل} = E_{پتانسیل} + E_{حرکتی} = \text{ثابت}$$ - نیروی نرمال سطح وقتی گلوله سطح را ترک می‌کند صفر می‌شود. - نیروی گرانش: $$mg$$ - نیروی نرمال: $$N$$ - نیروی گرانش در راستای شعاع: $$mg\cos\theta$$ - نیروی گرانش در راستای مماسی: $$mg\sin\theta$$ 3. تعریف متغیرها: - شعاع نیمکره: $$R$$ - زاویه $$\theta$$ از بالاترین نقطه (زاویه بین خط عمودی و موقعیت گلوله) - ارتفاع $$h$$ از کف نیمکره 4. انرژی مکانیکی در بالاترین نقطه: $$E_0 = mgR$$ 5. انرژی مکانیکی در زاویه $$\theta$$: $$E = mgR\cos\theta + \frac{1}{2}mv^2$$ 6. با قانون بقای انرژی: $$mgR = mgR\cos\theta + \frac{1}{2}mv^2$$ 7. سرعت در زاویه $$\theta$$: $$v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$$ 8. نیروی نرمال صفر در لحظه ترک سطح: $$N = 0 = mg\cos\theta - \frac{mv^2}{R}$$ 9. جایگذاری $$v^2$$ از مرحله 7 در معادله 8: $$mg\cos\theta = m \frac{2gR(1 - \cos\theta)}{R} = 2mg(1 - \cos\theta)$$ 10. ساده‌سازی معادله: $$\cos\theta = 2(1 - \cos\theta)$$ $$\cos\theta = 2 - 2\cos\theta$$ 11. جمع کردن $$2\cos\theta$$ به طرف چپ: $$\cos\theta + 2\cos\theta = 2$$ $$3\cos\theta = 2$$ 12. حل برای $$\cos\theta$$: $$\cos\theta = \frac{2}{3}$$ 13. ارتفاع $$h$$ از کف نیمکره: $$h = R(1 + \cos\theta) = R\left(1 + \frac{2}{3}\right) = \frac{5R}{3}$$ 14. پاسخ نهایی: گلوله سطح نیمکره را در ارتفاع $$\frac{5R}{3}$$ متر از کف ترک می‌کند.