1. مسئله: یک گلوله به جرم ۴۰۰ گرم (۰.۴ کیلوگرم) از بالاترین نقطه نیمکره‌ای با شعاع $r=10$ متر رها می‌شود. نیمکره دارای اصطکاک است و گلوله در ارتفاع نصف شعاع یعنی $h=5$ متر سطح نیمکره را ترک می‌کند. می‌خواهیم کار نیروی اصطکاک را محاسبه کنیم. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - انرژی پتانسیل گرانشی در ارتفاع $h$ برابر است با $U=mgh$ - انرژی جنبشی در لحظه ترک سطح: $K=\frac{1}{2}mv^2$ - کار نیروی اصطکاک برابر است با تغییر انرژی مکانیکی: $W_f=E_{initial}-E_{final}$ 3. محاسبه انرژی اولیه: $$E_{initial}=mgh_{initial}=0.4 \times 9.8 \times 10=39.2\, \text{ژول}$$ 4. محاسبه انرژی نهایی: ارتفاع ترک سطح $h=5$ متر است، پس انرژی پتانسیل نهایی: $$U_{final}=mgh=0.4 \times 9.8 \times 5=19.6\, \text{ژول}$$ 5. سرعت گلوله در لحظه ترک سطح را با استفاده از نیروی نرمال صفر و معادله حرکت دایره‌ای می‌یابیم: نیروی گرانشی مؤثر در جهت شعاع: $$mg\cos\theta=\frac{mv^2}{r}$$ زاویه $\theta$ مربوط به ارتفاع $h$ است: $$h=r\cos\theta \Rightarrow \cos\theta=\frac{h}{r}=\frac{5}{10}=0.5$$ پس: $$mg\times 0.5=\frac{mv^2}{r} \Rightarrow v^2=rg\times 0.5=10 \times 9.8 \times 0.5=49$$ 6. انرژی جنبشی نهایی: $$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2} \times 0.4 \times 49=9.8\, \text{ژول}$$ 7. انرژی مکانیکی نهایی: $$E_{final}=U_{final}+K=19.6+9.8=29.4\, \text{ژول}$$ 8. کار نیروی اصطکاک برابر است با کاهش انرژی مکانیکی: $$W_f=E_{initial}-E_{final}=39.2-29.4=9.8\, \text{ژول}$$ پاسخ نهایی: کار نیروی اصطکاک برابر است با ۹.۸ ژول.