1. **نص المشكلة:** لدينا المعادلة التفاضلية $ (3y^2 - x^2) dx - (2xy) dy = 0 $. المطلوب هو شرح كيفية حلها مع إعطاء القانون وأمثلة مشابهة.
2. **القانون المستخدم:** هذه معادلة تفاضلية من النوع القابل للفصل أو يمكن تحويلها إلى معادلة تفاضلية متجانسة أو يمكن التحقق إذا كانت معادلة تفاضلية متكاملة. المعادلة التفاضلية المتكاملة تحقق الشرط:
$$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$
حيث $M = 3y^2 - x^2$ و $N = -2xy$.
3. **التحقق من شرط التكامل:**
$$ \frac{\partial M}{\partial y} = 6y $$
$$ \frac{\partial N}{\partial x} = -2y $$
بما أن $6y \neq -2y$، المعادلة ليست متكاملة مباشرة.
4. **محاولة إيجاد عامل تكامل:**
نبحث عن عامل تكامل يعتمد على $x$ أو $y$ لجعل المعادلة متكاملة.
5. **تحويل المعادلة:**
نكتب المعادلة على الشكل:
$$ (3y^2 - x^2) dx = (2xy) dy $$
6. **فصل المتغيرات:**
نقسم الطرفين على $x^2$:
$$ \left(\frac{3y^2}{x^2} - 1\right) dx = \frac{2y}{x} dy $$
لكن هذا لا يسهل الفصل مباشرة.
7. **استخدام المتغير $v = \frac{y}{x}$:**
نضع $y = vx$، إذن:
$$ dy = v dx + x dv $$
8. **استبدال في المعادلة:**
نعود للمعادلة الأصلية:
$$ (3y^2 - x^2) dx - (2xy) dy = 0 $$
نستبدل $y = vx$ و $dy = v dx + x dv$:
$$ (3(vx)^2 - x^2) dx - 2x(vx)(v dx + x dv) = 0 $$
9. **تبسيط:**
$$ (3v^2 x^2 - x^2) dx - 2v x^2 (v dx + x dv) = 0 $$
$$ (3v^2 - 1) x^2 dx - 2v x^2 v dx - 2v x^3 dv = 0 $$
$$ (3v^2 - 1) x^2 dx - 2v^2 x^2 dx - 2v x^3 dv = 0 $$
10. **جمع الحدود:**
$$ (3v^2 - 1 - 2v^2) x^2 dx - 2v x^3 dv = 0 $$
$$ (v^2 - 1) x^2 dx - 2v x^3 dv = 0 $$
11. **قسمة على $x^3$:**
$$ (v^2 - 1) \frac{x^2}{x^3} dx - 2v dv = 0 $$
$$ (v^2 - 1) \frac{1}{x} dx - 2v dv = 0 $$
12. **إعادة ترتيب:**
$$ (v^2 - 1) \frac{dx}{x} = 2v dv $$
13. **تكامل الطرفين:**
$$ \int \frac{dx}{x} = \int \frac{2v}{v^2 - 1} dv $$
14. **تكامل الطرف الأيسر:**
$$ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C $$
15. **تكامل الطرف الأيمن:**
نستخدم التحليل إلى كسور جزئية:
$$ \frac{2v}{v^2 - 1} = \frac{2v}{(v-1)(v+1)} $$
نكتب:
$$ \frac{2v}{(v-1)(v+1)} = \frac{A}{v-1} + \frac{B}{v+1} $$
نضرب الطرفين في المقام:
$$ 2v = A(v+1) + B(v-1) $$
عند $v=1$:
$$ 2(1) = A(2) + B(0) \Rightarrow 2 = 2A \Rightarrow A=1 $$
عند $v=-1$:
$$ 2(-1) = A(0) + B(-2) \Rightarrow -2 = -2B \Rightarrow B=1 $$
16. **إعادة كتابة التكامل:**
$$ \int \frac{2v}{v^2 - 1} dv = \int \frac{1}{v-1} dv + \int \frac{1}{v+1} dv = \ln|v-1| + \ln|v+1| + C $$
17. **النتيجة النهائية:**
$$ \ln|x| = \ln|v-1| + \ln|v+1| + C $$
18. **دمج اللوغاريتمات:**
$$ \ln|x| = \ln| (v-1)(v+1) | + C $$
19. **استبدال $v = \frac{y}{x}$:**
$$ \ln|x| = \ln \left| \left(\frac{y}{x} - 1\right) \left(\frac{y}{x} + 1\right) \right| + C $$
20. **تبسيط:**
$$ \ln|x| = \ln \left| \frac{y^2}{x^2} - 1 \right| + C = \ln \left| \frac{y^2 - x^2}{x^2} \right| + C $$
21. **ضرب الطرفين في $x^2$ داخل اللوغاريتم:**
$$ \ln|x| = \ln|y^2 - x^2| - \ln|x^2| + C $$
22. **نقل الحدود:**
$$ \ln|x| + \ln|x^2| = \ln|y^2 - x^2| + C $$
$$ \ln|x^3| = \ln|y^2 - x^2| + C $$
23. **كتابة الحل العام:**
$$ |y^2 - x^2| = K |x|^3 $$
حيث $K = e^C$ ثابت تكامل.
**مثال مشابه:**
حل المعادلة التفاضلية $ (y^2 - x^2) dx + 2xy dy = 0 $ باستخدام نفس الطريقة مع المتغير $v = \frac{y}{x}$.
معادلة تفاضلية 52Eb97
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.