1. نبدأ ببيان المشكلة: نريد إثبات أن أي عدد صحيح أكبر من 7 يمكن كتابته كمجموع مضاعفات 3 و5. 2. نوضح القاعدة الأساسية: الأعداد 8, 9, 10, 11, 12 يمكن كتابتها باستخدام 3 و5 كما يلي: - $5 + 3 = 8$ - $5 + 5 = 10$ - $5 + 3 + 3 = 11$ - $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ 3. نفترض قاعدة الاستقراء: أي عدد $n > 7$ يمكن كتابته على شكل $n = 3x + 5y$ حيث $x, y$ أعداد صحيحة غير سالبة. 4. نريد إثبات أن العدد التالي $n + 3$ يمكن كتابته أيضاً باستخدام 3 و5. 5. نستخدم فرضية الاستقراء: $$n = 3x + 5y$$ 6. نضيف 3 إلى الطرفين: $$n + 3 = 3x + 5y + 3 = 3(x + 1) + 5y$$ 7. هذا يعني أننا فقط أضفنا قطعة واحدة من 3، وبالتالي $n + 3$ يمكن كتابته باستخدام 3 و5. 8. بما أن $n > 7$، فإن $n + 3 > 10$، وهو عدد أكبر من 7، لذا القاعدة صحيحة للعدد التالي. 9. بما أن القاعدة صحيحة للعدد الأساسي (8, 9, 10, 11, 12) وخطوة الاستقراء صحيحة، فإن أي عدد أكبر من 7 يمكن كتابته باستخدام 3 و5. النتيجة النهائية: تم إثبات صحة العلاقة باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي.