数列收敛 Bccee2

1. **题目**：已知数列 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$ 满足 $y_n=x_n+2x_{n+1}$，证明当 $\{y_n\}$ 收敛时，$\{x_n\}$ 也收敛。 2. **先写出关键公式**：由题设可得 $$x_{n+1}=\frac{1}{2}y_n-\frac{1}{2}x_n.$$ 3. **为什么先要证明有界**：如果一个数列收敛，那么它一定有界。题目已知 $\{y_n\}$ 收敛，所以 $\{y_n\}$ 有界。我们设存在正数 $M$，使得 $$|y_n|\le M.$$ 同时取 $|x_1|\le M$。 4. **用递推式证明 $\{x_n\}$ 也有界**：假设 $|x_n|\le M$，则 $$|x_{n+1}|=\left|\frac{1}{2}y_n-\frac{1}{2}x_n\right|\le \frac{1}{2}|y_n|+\frac{1}{2}|x_n|\le \frac{1}{2}M+\frac{1}{2}M=M.$$ 这里用了三角不等式和已知的有界性。这样就得到：如果前一项不超过 $M$，后一项也不超过 $M$。 5. **用数学归纳法推出整体有界**：因为 $|x_1|\le M$，并且由上一步可知 $|x_n|\le M$ 能推出 $|x_{n+1}|\le M$，所以由数学归纳法可得 $$|x_n|\le M,\quad \forall n\in\mathbb{N}.$$ 因此 $\{x_n\}$ 是有界数列。 6. **设上极限和下极限**：由于 $\{x_n\}$ 有界，我们记它的上极限、下极限分别为 $$\alpha=\limsup_{n\to\infty}x_n,\qquad \beta=\liminf_{n\to\infty}x_n.$$ 又记 $$\lim_{n\to\infty}y_n=y.$$ 7. **对等式取极限**：由 $$2x_{n+1}=y_n-x_n$$ 对两边取上极限与下极限，利用极限运算性质，可得 $$2\alpha=\lim_{n\to\infty}2x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}y_n+\lim_{n\to\infty}(-x_n)=y-\beta,$$ $$2\beta=\lim_{n\to\infty}2x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}y_n+\lim_{n\to\infty}(-x_n)=y-\alpha.$$ 8. **联立求出 $\alpha$ 和 $\beta$**：把两式相减，得到 $$2\alpha-2\beta=(y-\beta)-(y-\alpha).$$ 化简得 $$2\alpha-2\beta=\alpha-\beta,$$ 所以 $$\alpha=\beta.$$ 9. **得出收敛结论**：一个有界数列若上极限等于下极限，那么它收敛。这里 $\alpha=\beta$，所以 $\{x_n\}$ 收敛。 10. **最终答案**：当 $\{y_n\}$ 收敛时，数列 $\{x_n\}$ 也收敛。