1. Énonçons le problème : On a une matrice $A$ telle que $A^{n+1} = 0$. On cherche à déterminer l'indice de nilpotence de $A$. 2. Rappel de la définition : L'indice de nilpotence d'une matrice $A$ est le plus petit entier $k$ tel que $A^k = 0$. 3. Ici, on sait que $A^{n+1} = 0$. Cela signifie que l'indice de nilpotence est au plus $n+1$. 4. Cependant, par une propriété importante, l'indice de nilpotence d'une matrice $n \times n$ ne peut pas dépasser $n$. 5. Donc, même si $A^{n+1} = 0$, l'indice de nilpotence est en réalité un entier $k$ tel que $k \leq n$. 6. En conclusion, l'indice de nilpotence ne doit pas dépasser $n$, donc il est au plus égal à $n$. Réponse finale : L'indice de nilpotence de $A$ est au plus $n$, même si $A^{n+1} = 0$.