1. Énonçons le problème : On veut montrer que $\dim(E) \geq$ indice de nilpotence de $(V \circ U)$, c'est-à-dire que $(V \circ U)^n = 0$ pour un certain entier $n \leq \dim(E)$.\n\n2. Rappelons la définition : Un endomorphisme $T$ est nilpotent s'il existe un entier $n$ tel que $T^n = 0$. L'indice de nilpotence est le plus petit tel $n$.\n\n3. Ici, $T = V \circ U$ est une composition d'applications linéaires $U : E \to F$ et $V : F \to E$.\n\n4. Puisque $E$ est de dimension finie, on sait que la chaîne d'images $\mathrm{Im}(T) \supseteq \mathrm{Im}(T^2) \supseteq \cdots$ est décroissante et stationne en au plus $\dim(E)$ étapes.\n\n5. Donc, $T^n = 0$ pour un certain $n \leq \dim(E)$, ce qui montre que l'indice de nilpotence de $T$ est au plus $\dim(E)$.\n\n6. En conclusion, on a bien $\dim(E) \geq$ indice de nilpotence de $(V \circ U)$ et donc $(V \circ U)^n = 0$ pour un certain $n \leq \dim(E)$.