1. **Énoncé du problème :** On considère un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et deux endomorphismes $U$ et $V$ tels que $(V \circ U)^{n+1} = 0$. La question est de savoir si cela implique que $(V \circ U)^n = 0$. 2. **Rappel des définitions et propriétés :** - La dimension de $E$ est $n$. - L'indice de nilpotence d'un endomorphisme $T$ est le plus petit entier $k$ tel que $T^k = 0$. - On sait que l'indice de nilpotence de $(V \circ U)$ est au plus $n$ car $\dim(E) = n$. 3. **Analyse :** - Si $(V \circ U)^{n+1} = 0$, cela signifie que l'indice de nilpotence de $(V \circ U)$ est au plus $n+1$. - Or, par une propriété générale, l'indice de nilpotence d'un endomorphisme sur un espace de dimension $n$ est au plus $n$. - Donc, on a nécessairement $(V \circ U)^n = 0$. 4. **Conclusion :** Oui, si $(V \circ U)^{n+1} = 0$ alors $(V \circ U)^n = 0$ car l'indice de nilpotence ne peut pas dépasser la dimension $n$ de l'espace $E$. **Réponse finale :** $$(V \circ U)^n = 0$$