1. **Énoncé du problème :** On a une matrice $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$ et une application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y,z) = (4x, x + 2y, x + y + 3z)$. 2. **Objectif :** Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique $B = (e_1, e_2, e_3)$ et vérifier si elle correspond à $A$. 3. **Formule utilisée :** La matrice de $f$ dans la base canonique est obtenue en appliquant $f$ aux vecteurs de la base canonique et en écrivant les images en colonnes : $$M_f = \begin{pmatrix}f(e_1) & f(e_2) & f(e_3)\end{pmatrix}$$ 4. **Calcul des images des vecteurs de la base canonique :** - $f(e_1) = f(1,0,0) = (4 \times 1, 1 + 2 \times 0, 1 + 0 + 3 \times 0) = (4, 1, 1)$ - $f(e_2) = f(0,1,0) = (4 \times 0, 0 + 2 \times 1, 0 + 1 + 3 \times 0) = (0, 2, 1)$ - $f(e_3) = f(0,0,1) = (4 \times 0, 0 + 2 \times 0, 0 + 0 + 3 \times 1) = (0, 0, 3)$ 5. **Matrice de $f$ dans la base canonique :** $$M_f = \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}$$ 6. **Comparaison avec la matrice $A$ donnée :** $$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$$ On remarque que $M_f \neq A$, donc la matrice $A$ ne représente pas l'application linéaire $f$ dans la base canonique. **Réponse finale :** La matrice de $f$ dans la base canonique est $$\boxed{\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}}$$ qui est différente de $A$.