1. Énoncé du problème : Calculer $A + B$, $A - 5B$, $A + C$, $AB$, $BC$, $BD$, $CD$, $DC$, $B^2$, $\det(A)$, $\det(B)$, $\det(C)$, et $\det(D)$ pour les matrices données. 2. Rappel des règles : - Pour additionner ou soustraire des matrices, elles doivent avoir la même dimension. - La multiplication de matrices est possible si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde. - Le déterminant est défini uniquement pour les matrices carrées. 3. Dimensions des matrices : - $A$ est $3 \times 3$. - $B$ est $3 \times 3$. - $C$ est $2 \times 3$ (incomplète dans l'énoncé, supposons $C$ non définie pour opérations). - $D$ est $2 \times 2$. 4. Calcul de $A + B$ : $$A + B = \begin{pmatrix}1+2 & 4+0 & -3-2 \\ 4-1 & 2+1 & 5+0 \\ -3+3 & 5+0 & 7-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 & -5 \\ 3 & 3 & 5 \\ 0 & 5 & 2\end{pmatrix}$$ 5. Calcul de $A - 5B$ : $$5B = 5 \times \begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 0 & -10 \\ -5 & 5 & 0 \\ 15 & 0 & -25\end{pmatrix}$$ $$A - 5B = \begin{pmatrix}1-10 & 4-0 & -3+10 \\ 4+5 & 2-5 & 5-0 \\ -3-15 & 5-0 & 7+25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9 & 4 & 7 \\ 9 & -3 & 5 \\ -18 & 5 & 32\end{pmatrix}$$ 6. $A + C$ impossible car $C$ est $2 \times 3$ et $A$ est $3 \times 3$. 7. Calcul de $AB$ : $$AB = A \times B = \begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\ 4 & 2 & 5 \\ -3 & 5 & 7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 4 & 11 \\ 7 & 2 & -33 \\ 20 & 5 & -41 \end{pmatrix}$$ 8. Calcul de $BC$ impossible car $B$ est $3 \times 3$ et $C$ est $2 \times 3$ (dimensions incompatibles). 9. Calcul de $BD$ impossible car $B$ est $3 \times 3$ et $D$ est $2 \times 2$ (dimensions incompatibles). 10. Calcul de $CD$ impossible car $C$ est $2 \times 3$ et $D$ est $2 \times 2$ (dimensions incompatibles). 11. Calcul de $DC$ impossible car $D$ est $2 \times 2$ et $C$ est $2 \times 3$ (dimensions incompatibles). 12. Calcul de $B^2 = B \times B$ : $$B^2 = \begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 0 & -6 \\ -3 & 1 & 2 \\ 19 & 0 & 19 \end{pmatrix}$$ 13. Calcul des déterminants : - $\det(A) = 1(2 \times 7 - 5 \times 5) - 4(4 \times 7 - 5 \times (-3)) + (-3)(4 \times 5 - 2 \times (-3)) = 1(-11) - 4(43) - 3(26) = -11 - 172 - 78 = -261$ - $\det(B)$ calculé par expansion de la première ligne : $$2(1 \times (-5) - 0 \times 0) - 0(-1 \times (-5) - 0 \times 3) + (-2)(-1 \times 0 - 1 \times 3) = 2(-5) + 0 + (-2)(-3) = -10 + 6 = -4$$ - $\det(C)$ impossible car $C$ n'est pas carrée. - $\det(D) = 9 \times 0 - 14 \times 14 = -196$ 14. Conclusion : - Certaines opérations sont impossibles à cause des dimensions incompatibles. - Les résultats des opérations possibles sont donnés ci-dessus.