1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie $n \geq 2$, tel que $f^2 = f$ (c'est-à-dire $f$ est un projecteur), on a : a) $\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$ b) $\operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)$ --- 2. **Rappel des définitions et propriétés importantes :** - $\ker(f) = \{x \in E : f(x) = 0\}$ - $\operatorname{Im}(f) = \{f(x) : x \in E\}$ - $\operatorname{Id}_E$ est l'application identité sur $E$. - $f^2 = f$ signifie que $f$ est un projecteur, donc $f$ est idempotent. --- 3. **Démonstration de a) : $\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$** - Montrons d'abord que $\operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f) \subseteq \ker(f)$. Soit $y \in \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$, alors il existe $x \in E$ tel que $$y = (\operatorname{Id}_E - f)(x) = x - f(x).$$ Appliquons $f$ à $y$ : $$f(y) = f(x - f(x)) = f(x) - f^2(x) = f(x) - f(x) = 0,$$ car $f^2 = f$. Donc $y \in \ker(f)$. - Montrons maintenant que $\ker(f) \subseteq \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$. Soit $y \in \ker(f)$, donc $f(y) = 0$. Posons $x = y$, alors $$(\operatorname{Id}_E - f)(x) = x - f(x) = y - 0 = y,$$ ce qui montre que $y \in \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$. - Conclusion : $\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f)$. --- 4. **Démonstration de b) : $\operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)$** - Montrons d'abord que $\operatorname{Im}(f) \subseteq \ker(\operatorname{Id}_E - f)$. Soit $y \in \operatorname{Im}(f)$, alors il existe $x \in E$ tel que $$y = f(x).$$ Appliquons $(\operatorname{Id}_E - f)$ à $y$ : $$(\operatorname{Id}_E - f)(y) = y - f(y) = f(x) - f(f(x)) = f(x) - f^2(x) = f(x) - f(x) = 0,$$ car $f^2 = f$. Donc $y \in \ker(\operatorname{Id}_E - f)$. - Montrons maintenant que $\ker(\operatorname{Id}_E - f) \subseteq \operatorname{Im}(f)$. Soit $y \in \ker(\operatorname{Id}_E - f)$, donc $$(\operatorname{Id}_E - f)(y) = y - f(y) = 0 \implies y = f(y).$$ Donc $y$ est dans l'image de $f$. - Conclusion : $\operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)$. --- **Réponse finale :** $$\boxed{\ker(f) = \operatorname{Im}(\operatorname{Id}_E - f) \quad \text{et} \quad \operatorname{Im}(f) = \ker(\operatorname{Id}_E - f)}$$