1. **Énoncé du problème :** Montrer que $E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0 \text{ et } 2x - y - z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. 2. **Définition et propriétés importantes :** Un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}^3$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si : - $E$ contient le vecteur nul. - $E$ est stable par addition : si $u,v \in E$, alors $u+v \in E$. - $E$ est stable par multiplication scalaire : si $u \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\lambda u \in E$. 3. **Vérification que $E$ contient le vecteur nul :** Le vecteur nul est $(0,0,0)$. Vérifions les équations : $$0 + 0 - 2 \times 0 = 0$$ $$2 \times 0 - 0 - 0 = 0$$ Donc $(0,0,0) \in E$. 4. **Stabilité par addition :** Soient $u = (x_1,y_1,z_1)$ et $v = (x_2,y_2,z_2)$ dans $E$, donc $$x_1 + y_1 - 2z_1 = 0, \quad 2x_1 - y_1 - z_1 = 0$$ $$x_2 + y_2 - 2z_2 = 0, \quad 2x_2 - y_2 - z_2 = 0$$ Considérons $u+v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$. Calculons : $$ (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 2(z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 - 2z_1) + (x_2 + y_2 - 2z_2) = 0 + 0 = 0 $$ $$ 2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) - (z_1 + z_2) = (2x_1 - y_1 - z_1) + (2x_2 - y_2 - z_2) = 0 + 0 = 0 $$ Donc $u+v \in E$. 5. **Stabilité par multiplication scalaire :** Soit $u = (x,y,z) \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $$x + y - 2z = 0, \quad 2x - y - z = 0$$ Considérons $\lambda u = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$. Calculons : $$ \lambda x + \lambda y - 2 \lambda z = \lambda (x + y - 2z) = \lambda \times 0 = 0 $$ $$ 2 \lambda x - \lambda y - \lambda z = \lambda (2x - y - z) = \lambda \times 0 = 0 $$ Donc $\lambda u \in E$. 6. **Conclusion :** $E$ contient le vecteur nul, est stable par addition et par multiplication scalaire, donc $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. --- 7. **Déterminer une famille génératrice de $E$ :** Résolvons le système : $$\begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$$ Additionnons les deux équations : $$ (x + y - 2z) + (2x - y - z) = 0 + 0 \Rightarrow 3x - 3z = 0 \Rightarrow x = z $$ Substituons $x = z$ dans la première équation : $$ z + y - 2z = 0 \Rightarrow y - z = 0 \Rightarrow y = z $$ Donc $x = y = z$. Posons $z = t \in \mathbb{R}$. Alors $$ (x,y,z) = (t, t, t) = t(1,1,1) $$ La famille génératrice est donc $\{(1,1,1)\}$. 8. **Montrer que cette famille est une base :** La famille $\{(1,1,1)\}$ est libre car le seul scalaire $\lambda$ tel que $\lambda (1,1,1) = (0,0,0)$ est $\lambda = 0$. Elle engendre $E$ car tout vecteur de $E$ est un multiple de $(1,1,1)$. Donc $\{(1,1,1)\}$ est une base de $E$. --- 8. **Réponse finale :** $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. Une base de $E$ est $\{(1,1,1)\}$.