1. Le problème : Expliquer la notion de sous-espace vectoriel engendré. 2. Définition : Un sous-espace vectoriel engendré par un ensemble de vecteurs $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ dans un espace vectoriel $V$ est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces vecteurs. 3. Formule : Le sous-espace engendré est noté $\mathrm{span}(v_1, v_2, \dots, v_k)$ et défini par $$\mathrm{span}(v_1, v_2, \dots, v_k) = \left\{ \sum_{i=1}^k \alpha_i v_i \mid \alpha_i \in \mathbb{R} \right\}$$ 4. Explication : Cela signifie que tout vecteur dans ce sous-espace peut s'écrire comme une somme pondérée des vecteurs $v_i$, où les coefficients $\alpha_i$ sont des scalaires réels. 5. Règles importantes : - Le sous-espace engendré est toujours un sous-espace vectoriel de $V$. - Il contient au minimum le vecteur nul (obtenu en prenant tous les $\alpha_i=0$). - Si les vecteurs $v_i$ sont linéairement indépendants, ils forment une base du sous-espace engendré. 6. Exemple simple : Si $v_1 = (1,0)$ et $v_2 = (0,1)$ dans $\mathbb{R}^2$, alors $\mathrm{span}(v_1, v_2) = \mathbb{R}^2$ car toute combinaison linéaire $\alpha_1(1,0) + \alpha_2(0,1) = (\alpha_1, \alpha_2)$ couvre tout $\mathbb{R}^2$. En résumé, le sous-espace vectoriel engendré est l'ensemble de tous les vecteurs que l'on peut obtenir en combinant linéairement un ensemble donné de vecteurs.