1. **Énoncé du problème :** Soit $E = \mathbb{R}^3$ et $F = \{v = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 2. **Formule et règles importantes :** Un sous-espace vectoriel doit vérifier trois propriétés : - Contenir le vecteur nul. - Être stable par addition. - Être stable par multiplication scalaire. 3. **Preuve que $F$ est un sous-espace vectoriel :** - Le vecteur nul est $(0,0,0)$ et vérifie $0 + 2\times0 - 0 = 0$, donc $\mathbf{0} \in F$. - Soient $u = (x_1,y_1,z_1)$ et $v = (x_2,y_2,z_2)$ dans $F$, donc $x_1 + 2y_1 - z_1 = 0$ et $x_2 + 2y_2 - z_2 = 0$. - Leur somme $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ vérifie: $$ (x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (x_1 + 2y_1 - z_1) + (x_2 + 2y_2 - z_2) = 0 + 0 = 0 $$ Donc $u+v \in F$. - Pour un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ et $u = (x,y,z) \in F$, on a: $$ \lambda x + 2 \lambda y - \lambda z = \lambda (x + 2y - z) = \lambda \times 0 = 0 $$ Donc $\lambda u \in F$. 4. **Conclusion :** $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ car il contient le vecteur nul, est stable par addition et par multiplication scalaire. **Réponse finale :** $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.