1. Le problème : Comprendre ce qu'est un sous-espace vectoriel. 2. Définition : Un sous-espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui respecte trois propriétés importantes : - Il contient le vecteur nul. - Il est stable par addition (la somme de deux vecteurs du sous-espace est aussi dans le sous-espace). - Il est stable par multiplication scalaire (le produit d'un vecteur du sous-espace par un scalaire est aussi dans le sous-espace). 3. Formule et règles : Si $W$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $V$, alors pour tous $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$ et tout scalaire $\alpha$, on a : $$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$$ $$\alpha \mathbf{u} \in W$$ et $\mathbf{0} \in W$. 4. Exemple : Considérons $\mathbb{R}^3$ et le sous-ensemble $W$ des vecteurs de la forme $(x,0,0)$ où $x \in \mathbb{R}$. Vérifions les propriétés : - Le vecteur nul est $(0,0,0)$, qui est dans $W$. - La somme de deux vecteurs $(x,0,0)$ et $(y,0,0)$ est $(x+y,0,0)$, qui est dans $W$. - Le produit d'un vecteur $(x,0,0)$ par un scalaire $\alpha$ est $(\alpha x,0,0)$, qui est dans $W$. 5. Conclusion : $W$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. Un sous-espace vectoriel est donc un "petit espace" à l'intérieur d'un espace vectoriel qui respecte les règles de l'addition et de la multiplication par un nombre, et qui contient le vecteur nul.